1. Demonstrar que se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L, então \lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=|L|. Ache um exemplo onde para L \neq 0 a recíproca não vale.
  2. Demonstrar que se \lim _{x \rightarrow 0} g(x)=0, então \lim _{x \rightarrow 0}\left[g(x) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right]=0.
  3. Prove que dado a \in X_{+}^{\prime} \cap X_{-}^{\prime}, existe \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L \Leftrightarrow existem e são iguais os limites laterais \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L.
  4. Considere f(x)=\frac{x}{|x|} para x \neq 0 e f(0)=0. Mostre que \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1, \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)= -1 e conclua que não existe \lim _{x \rightarrow 0} f(x).
  5. Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas por f(x)=0 se x \notin \mathbb{Q} e f(x)=x para x \in \mathbb{Q}, g(0)= 1, g(x)=0 se x \neq 0. Mostre que \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=0, porém não existe \lim _{x \rightarrow 0} g(f(x)).

Passo 1

O exercício reúne cinco itens sobre propriedades de limites:
  • (31) mostrar que se \lim_{x\to a}f(x)=L então \lim_{x\to a}|f(x)|=|L| e dar um contraexemplo à recíproca quando L\neq0.
  • (32) provar que de \lim_{x\to0}g(x)=0 segue \lim_{x\to0}[\,g(x)\sin(1/x)\,]=0.
  • (33) provar que \lim_{x\to a}f(x)=L se, e somente se, os limites laterais existem e são iguais a L.
  • (34) usar f(x)=x/|x| para calcular limites laterais em 0 e concluir que não há limite nesse ponto.
  • (35) com funções patológicas em \Bbb R, mostrar que \lim f=0, \lim g=0 mas \lim(g\circ f) não existe.
    Ferramentas principais: definição ε–δ, desigualdade triangular, regra do aperto e limites laterais.

Passo 2

Demonstração de que
\lim_{x\to a}f(x)=L \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to a}|f(x)|=|L|.
Pela definição, dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta implica
|f(x)-L|<\varepsilon.
Mas vale sempre
\bigl||f(x)|-|L|\bigr|\le|f(x)-L|<\varepsilon,
logo \lim_{x\to a}|f(x)|=|L|.

Passo 3

Contraexemplo à recíproca (com L\neq0): seja
f(x)=\frac{x}{|x|},\quad x\neq0,
e a=0. Então |f(x)|=1 para todo x\neq0, logo \lim_{x\to0}|f(x)|=1=|L| com L=1. Porém f(x) oscila entre 1 e -1 ao se aproximar de 0, então \lim_{x\to0}f(x) não existe.

Passo 4

Provar que de \lim_{x\to0}g(x)=0 segue \lim_{x\to0}\bigl[g(x)\sin(1/x)\bigr]=0. Como |\sin t|\le1 para todo t,
\bigl|g(x)\sin(1/x)\bigr|\le|g(x)|.
Dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que |x|<\delta implica |g(x)|<\varepsilon. Então, para |x|<\delta,
\bigl|g(x)\sin(1/x)\bigr|\le|g(x)|<\varepsilon,
e pela regra do aperto obtemos o resultado.

Passo 5

Provar que \lim_{x\to a}f(x)=L\iff\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=L.
\Rightarrow”: se o limite existe, a condição ε–δ vale para todo x com 0<|x-a|<\delta, cobrindo ambos os lados, logo ambos os limites laterais são L.
\Leftarrow”: suponha \lim_{x\to a^+}f(x)=L com parâmetro \delta_1 e \lim_{x\to a^-}f(x)=L com parâmetro \delta_2.
Basta tomar \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Então se 0<|x-a|<\delta, seja x>a ou x<a, em ambos os casos |f(x)-L|<\varepsilon. Daí \lim_{x\to a}f(x)=L.

Passo 6

Considere f(x)=x/|x| para x\neq0 e f(0)=0.
Para x\to0^+, f(x)=1, então \lim_{x\to0^+}f(x)=1.
Para x\to0^-, f(x)=-1, então \lim_{x\to0^-}f(x)=-1.
Como os dois valores são diferentes, \lim_{x\to0}f(x) não existe.

Passo 7

Defina
f(x)=\begin{cases} 0,&x\notin\Bbb Q,\\\ x,&x\in\Bbb Q, \end{cases} \qquad g(x)=\begin{cases} 1,&x=0,\\\\ 0,&x\neq0. \end{cases}
Para x\to0:
– Se x irracional, f(x)=0.
– Se x racional, f(x)=x\to0.
Logo \lim_{x\to0}f(x)=0.
Também, para x\neq0, g(x)=0, então \lim_{x\to0}g(x)=0.
Porém g(f(x)) vale g(0)=1 quando x é irracional e vale g(x)=0 quando x\neq0 racional, fazendo oscilar g(f(x)) entre 0 e 1 ao se aproximar de 0. Assim \lim_{x\to0}g(f(x)) não existe.

Resposta

  1. Demonstrado \lim_{x\to a}|f(x)|=|L| e contraexemplo f(x)=x/|x| em a=0.
  2. \displaystyle\lim_{x\to0}g(x)\sin(1/x)=0 por regra do aperto.
  3. \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=L.
  4. \lim_{x\to0^+}x/|x|=1, \lim_{x\to0^-}x/|x|=-1, logo não existe \lim_{x\to0}x/|x|.
  5. \lim_{x\to0}f(x)=0, \lim_{x\to0}g(x)=0, mas \lim_{x\to0}g(f(x)) não existe.

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