ii) Use a letra anterior para mostrar que a função f(x)=1 / x não é uniformemente contínua no intervalo (0,1].
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f(x)=\tfrac1x não é uniformemente contínua em (0,1]. Vamos usar o resultado da letra anterior, que diz que se f é uniformemente contínua em um conjunto D, então para qualquer sequência de Cauchy (x_n)\subset D a sequência (f(x_n)) também é de Cauchy.
Passo 2
Escrevendo o contrapositivo desse resultado: se existir uma sequência de Cauchy (x_n)\subset D tal que (f(x_n))não seja de Cauchy, então fnão pode ser uniformemente contínua em D.
Passo 3
Considere a sequência
x_n = \frac1n,
que pertence a (0,1]. Para mostrar que (x_n) é de Cauchy, seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que \tfrac1N<\varepsilon. Se m,n\ge N, então
Mas a sequência (n) não é de Cauchy em \mathbb{R}: por exemplo, tomando \varepsilon=1, para qualquer N podemos escolher m,n\ge N com, digamos, n=m+1, e então
|f(x_n)-f(x_m)| = |n - m| = 1 = \varepsilon,
impedindo que (f(x_n)) seja Cauchy.
Passo 5
Achamos uma sequência de Cauchy (x_n)\subset(0,1] cuja imagem (f(x_n)) não é de Cauchy. Pelo contraposivo do resultado da letra anterior, concluímos que f(x)=\tfrac1xnão é uniformemente contínua em (0,1].
Resposta
A função f(x)=1/x não é uniformemente contínua em (0,1].