ii) Use a letra anterior para mostrar que a função f(x)=1 / x não é uniformemente contínua no intervalo (0,1].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x)=\tfrac1x não é uniformemente contínua em (0,1]. Vamos usar o resultado da letra anterior, que diz que se f é uniformemente contínua em um conjunto D, então para qualquer sequência de Cauchy (x_n)\subset D a sequência (f(x_n)) também é de Cauchy.

Passo 2

Escrevendo o contrapositivo desse resultado: se existir uma sequência de Cauchy (x_n)\subset D tal que (f(x_n)) não seja de Cauchy, então f não pode ser uniformemente contínua em D.

Passo 3

Considere a sequência
x_n = \frac1n,
que pertence a (0,1]. Para mostrar que (x_n) é de Cauchy, seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que \tfrac1N<\varepsilon. Se m,n\ge N, então
|x_m - x_n| = \Bigl|\frac1m - \frac1n\Bigr| \le \max\Bigl(\frac1m,\frac1n\Bigr)\le \frac1N < \varepsilon.
Logo, (x_n) é de Cauchy em (0,1].

Passo 4

Agora observe que
f(x_n) = n.
Mas a sequência (n) não é de Cauchy em \mathbb{R}: por exemplo, tomando \varepsilon=1, para qualquer N podemos escolher m,n\ge N com, digamos, n=m+1, e então
|f(x_n)-f(x_m)| = |n - m| = 1 = \varepsilon,
impedindo que (f(x_n)) seja Cauchy.

Passo 5

Achamos uma sequência de Cauchy (x_n)\subset(0,1] cuja imagem (f(x_n)) não é de Cauchy. Pelo contraposivo do resultado da letra anterior, concluímos que f(x)=\tfrac1x não é uniformemente contínua em (0,1].

Resposta

A função f(x)=1/x não é uniformemente contínua em (0,1].

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