i) Prove que se f: X \rightarrow \mathbb{R} é uniformemente contínua, então para cada a \in X^{\prime} (mesmo que a não pertença a X ), existe \lim _{x \rightarrow a} f(x).
ii) Use a letra anterior para mostrar que a função f(x)=x /|x| não é uniformemente contínua em \mathbb{R}-\{0\}.
Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua. Prove que se f(x)=0, \forall x \in A \subset \mathbb{R}, então f(x)=0, \forall x \in \bar{A}.
Passo 1
O enunciado 39 trata de continuidade uniforme e existência de limite em pontos de acumulação, pedindo ainda em (ii) aplicar isso à função f(x)=x/|x| em \mathbb{R}\setminus\{0\}. O enunciado 40 pede para provar que, se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua e f(x)=0 em A\subset\mathbb{R}, então f(x)=0 em \overline{A}. Vamos usar a definição \varepsilon-\delta de continuidade uniforme, caracterização sequencial de ponto de acumulação e continuidade simples via sequência.
Passo 2
Prova de 39-i: seja f:X\to\mathbb{R} uniformemente contínua e a\in X'. Queremos mostrar que existe \lim_{x\to a}f(x). Dado \varepsilon>0, por uniformidade existe \delta>0 tal que, para quaisquer x,y\in X,
Como a é ponto de acumulação de X, existem x_1,x_2\in X com 0<|x_i-a|<\delta. Então
|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.
Isto mostra que todos os valores f(x) para x suficientemente perto de a ficam dentro de um intervalo de diâmetro <\varepsilon. Logo o limite existe (os supremo e ínfimo desses valores diferem em menos de \varepsilon para todo \varepsilon). Portanto \lim_{x\to a}f(x) existe.
Passo 3
Prova de 39-ii: considere f(x)=x/|x| em \mathbb{R}\setminus\{0\}. O único possível ponto de acumulação fora do domínio é a=0. Se f fosse uniformemente contínua, por 39-i teria de existir \lim_{x\to0}x/|x|. Mas aproximando por x>0 temos f(x)=1 e por x<0 temos f(x)=-1, logo não há limite em 0. Contradição. Assim f não é uniformemente contínua em \mathbb{R}\setminus\{0\}.
Passo 4
Prova de 40: seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua e f(x)=0 para todo x\in A. Tome a\in\overline{A}. Como a é ponto de fecho, existe uma sequência (a_n)\subset A com a_n\to a. Pela continuidade de f em a tem-se
Logo f(a)=0. Isso vale para qualquer a\in\overline{A}, de onde f(x)=0 em \overline{A}.
Resposta
(i) Se f é uniformemente contínua em X e a\in X', então \lim_{x\to a}f(x) existe.
(ii) A função f(x)=x/|x| em \mathbb{R}\setminus\{0\} não é uniformemente contínua pois não admite limite em 0.
40) Se f é contínua em \mathbb{R} e f(x)=0 em A\subset\mathbb{R}, então f(x)=0 em \overline{A}.