Demonstrar que não existem grupos simples de ordem 12,28 e 56.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe nenhum grupo simples de ordem , ou . O conteúdo principal aqui são os Teoremas de Sylow, que nos dão, para cada primo que divide a ordem de um grupo , a existência e o número de subgrupos de Sylow -subgrupos, junto com as condições
onde p^k é a maior potência de p que divide |G|. Se algum np=1, esse Sylow p-subgrupo é único e portanto normal, mostrando que G não é simples.
Passo 2
Caso |G|=12=2^2cdot3.
Pelo teorema de Sylow para p=3:
n3;l|;4 e n3equiv1pmod3
As divisões de 4 são 1,2,4; dentre elas, as que são equiv1pmod3 são 1 e 4.
Se n3=1, há um único Sylow-3, logo ele é normal e G não é simples.
Se n3=4, então há 4 subgrupos de ordem 3, cada um com 2 elementos de ordem 3, totalizando 8 elementos de ordem 3. Restam 12-8=4 elementos em G. Mas um Sylow-2 tem ordem 4, e o número n2 de Sylow-2 satisfaz
n2;l|;3 e n2equiv1pmod2,
logo n2=1 ou 3. Se n2=1, Sylow-2 único e normal. Se n2=3, então haveria 3 subgrupos de ordem 4, cada um contribuindo com 3 não-identidades, dando 3cdot3=9 elementos de ordem 2 no total, o que excede os 4 remanescentes. Contradição. Portanto obrigatoriamente n2=1 e o Sylow-2 é normal. Concluímos que em |G|=12 sempre há um Sylow único, logo nenhum grupo de ordem 12 é simples.
Passo 3
Caso |G|=28=2^2cdot7.
Pelo teorema de Sylow para p=7:
n7;l|;4 e n7equiv1pmod7
As únicas divisões de 4 são 1,2,4; dentre elas, só 1equiv1pmod7. Logo n7=1. Existe um único Sylow-7, que é normal. Concluímos que não há grupo simples de ordem 28.
Passo 4
Caso |G|=56=2^3cdot7.
Pelo teorema de Sylow para p=7:
n7;l|;8 e n7equiv1pmod7
As divisões de 8 são 1,2,4,8; dentre elas, as que satisfazem equiv1pmod7 são 1 e 8.
Se n7=1, então Sylow-7 único e normal, e G não é simples.
Se n7=8, então existem 8 subgrupos de ordem 7, cada um com 6 elementos de ordem 7, totalizando 8cdot6=48 elementos de ordem 7. Restam 56-48=8 elementos. Mas um Sylow-2 tem ordem 8 e deve conter exatamente esses 8 elementos remanescentes. Logo há exatamente um Sylow-2, ou seja, n2=1. Esse Sylow-2 é único e normal.
Em qualquer dos casos surge um Sylow normal, logo não existe grupo simples de ordem 56.
Resposta
Não existem grupos simples de ordem 12, 28 nem 56.