Demonstrar que não existem grupos simples de ordem 148, 312 e 351 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não há grupos simples (sem subgrupos normais próprios) de ordem 148, 312 e 351. Vamos usar os Teoremas de Sylow: fatorar cada ordem, determinar o número de subgrupos de Sylow para algum primo divisor e ver que em cada caso ele é único, tornando-o normal.

Passo 2

Fatoramos as ordens em primos:
148 = 2^2 times 37,
312 = 2^3 times 3 times 13,
351 = 3^3 times 13

Passo 3

Caso lvert Grvert=148. Seja n37 o número de Sylow-37 em G. Pelos Teoremas de Sylow:
n37equiv1pmod37 e n37mid 2^2=4
Os divisores de 4 são 1,2,4, e apenas 1equiv1pmod37. Logo
n37=1,
o que implica que o Sylow-37 é único e, portanto, normal. Assim G não é simples.

Passo 4

Caso lvert Grvert=312. Seja n13 o número de Sylow-13. Temos
n13equiv1pmod13 e n13mid 2^3cdot3=24
Os divisores de 24 são 1,2,3,4,6,8,12,24, e novamente só 1equiv1pmod13. Logo
n13=1,
o Sylow-13 é único e normal. Assim G não é simples.

Passo 5

Caso lvert Grvert=351. Primeiro olhamos o Sylow-13. Seja n13 seu número:
n13equiv1pmod13 e n13mid3^3=27,
logo n13in1,27.
  • Se n13=1, o Sylow-13 é normal e G não é simples.
  • Se n13=27, então há 27 subgrupos de ordem 13, cada um com 12 elementos de ordem 13, totalizando 27cdot12=324 elementos de ordem 13. Acrescentando a identidade, chegamos a 325 elementos distintos. Como lvert Grvert=351, sobram 26 elementos não-identidade. Mas um Sylow-3 tem ordem 3^3=27, isto é, 26 não-identidade mais a identidade; portanto só pode haver um Sylow-3, que será único e normal. Logo G também não é simples nesse caso.

Resposta

Não existem grupos simples de ordem 148, 312 ou 351.

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