Demonstrar que não existem grupos simples de ordem 148, 312 e 351 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não há grupos simples (sem subgrupos normais próprios) de ordem 148, 312 e 351. Vamos usar os Teoremas de Sylow: fatorar cada ordem, determinar o número de subgrupos de Sylow para algum primo divisor e ver que em cada caso ele é único, tornando-o normal.
Passo 2
Fatoramos as ordens em primos:
Passo 3
Caso
. Seja
o número de Sylow-37 em
. Pelos Teoremas de Sylow:
Os divisores de
são
, e apenas
. Logo
o que implica que o Sylow-37 é único e, portanto, normal. Assim
não é simples.
Passo 4
Caso
. Seja
o número de Sylow-13. Temos
Os divisores de
são
, e novamente só
. Logo
o Sylow-13 é único e normal. Assim
não é simples.
Passo 5
Caso
. Primeiro olhamos o Sylow-13. Seja
seu número:
logo
.
- Se
, o Sylow-13 é normal e não é simples. - Se
, então há subgrupos de ordem , cada um com elementos de ordem 13, totalizando elementos de ordem 13. Acrescentando a identidade, chegamos a elementos distintos. Como , sobram elementos não-identidade. Mas um Sylow-3 tem ordem , isto é, não-identidade mais a identidade; portanto só pode haver um Sylow-3, que será único e normal. Logo também não é simples nesse caso.
Resposta
Não existem grupos simples de ordem 148, 312 ou 351.