Demonstrar que todo grupo de ordem 12 com mais de um 3-subgrupo de Sylow é isomorfo ao grupo
.
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que, se
é um grupo com
e tem mais de um 3-subgrupo de Sylow, então
. Vamos usar o Teorema de Sylow para contar o número de 3-subgrupos, a ação de
por conjugação nesse conjunto para obter um homomorfismo em
e, em seguida, aplicar o Primeiro Teorema de Isomorfismo para concluir que
se injeta em
. Por fim, usamos que o único subgrupo de ordem 12 em
é
.
Passo 2
Pelo Teorema de Sylow, o número
de 3-subgrupos de Sylow satisfaz
As únicas opções são
ou
. Como o enunciado exige mais de um 3-subgrupo, temos
Passo 3
Seja
o conjunto dos quatro 3-Sylow de
. A ação de
por conjugação em
define um homomorfismo
Para cada
, o índice
é justamente o número de conjugados de
, ou seja, 4. Logo
e como
tem ordem 3, segue
.
Passo 4
O núcleo de
é
Cada
é cíclico de ordem 3 e dois deles distintos intersectam-se trivialmente, então a interseção de todos é
. Portanto
e
é injetor.
Passo 5
Pela Injeção
,
é isomorfo a um subgrupo de
de ordem
. Mas o único subgrupo de
com 12 elementos é
. Logo