Demonstrar que todo grupo de ordem 12 com mais de um 3-subgrupo de Sylow é isomorfo ao grupo A4.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que, se G é um grupo com |G|=12 e tem mais de um 3-subgrupo de Sylow, então Gcong A4. Vamos usar o Teorema de Sylow para contar o número de 3-subgrupos, a ação de G por conjugação nesse conjunto para obter um homomorfismo em S4 e, em seguida, aplicar o Primeiro Teorema de Isomorfismo para concluir que G se injeta em S4. Por fim, usamos que o único subgrupo de ordem 12 em S4 é A4.

Passo 2

Pelo Teorema de Sylow, o número n3 de 3-subgrupos de Sylow satisfaz
n3equiv 1pmod3 e n3mid 4
As únicas opções são n3=1 ou n3=4. Como o enunciado exige mais de um 3-subgrupo, temos
n3=4

Passo 3

Seja o conjunto dos quatro 3-Sylow de . A ação de por conjugação em define um homomorfismo
Para cada , o índice é justamente o número de conjugados de , ou seja, 4. Logo
e como tem ordem 3, segue .

Passo 4

O núcleo de varphi é
kervarphi=capgin Gg,NG(P1),g^-1 =capgin GgP1g^-1 =capi=1^4Pi
Cada Pi é cíclico de ordem 3 e dois deles distintos intersectam-se trivialmente, então a interseção de todos é e. Portanto kervarphi=e e varphi é injetor.

Passo 5

Pela Injeção varphi, G é isomorfo a um subgrupo de S4 de ordem |G|=12. Mas o único subgrupo de S4 com 12 elementos é A4. Logo
Gcong A4

Resposta

Gcong A4.

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