Prove que não existe grupo simples de ordem 1452.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que um grupo G de ordem
1452
não pode ser simples. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Sylow (para obter as possíveis quantidades de subgrupos de Sylow de ordem 11^2) e a ação de conjugação de G sobre o conjunto desses subgrupos, o que dá um monomorfismo em S12. Por fim, usaremos um argumento de divisibilidade de ordens para concluir a impossibilidade.

Passo 2

Fatorando a ordem de G temos
1452 = 2^2 cdot 3 cdot 11^2
Pelo Teorema de Sylow, o número n11 de subgrupos de Sylow de ordem 11^2 satisfaz
n11equiv 1pmod11 e n11mid 2^2cdot3 = 12
Os divisores de 12 são 1,2,3,4,6,12, e entre eles apenas 1 e 12 são congruentes a 1 módulo 11. Logo
n11in1,12

Passo 3

Se n11=1, então há exatamente um subgrupo de Sylow de ordem 11^2 e, portanto, esse subgrupo é normal em G. Assim G não é simples. Resta então o caso n11=12.

Passo 4

Suponha n11=12. Escolha um subgrupo de Sylow P<= G com lvert Prvert=11^2. Pelo teorema de Sylow, o índice do seu normalizador é
[G : NG(P)] = n11 = 12,
logo
lvert NG(P)rvert = lvert Grvert12 = 145212 = 121 = 11^2
Isto mostra que NG(P)=P, ou seja, cada Sylow de ordem 11^2 é seu próprio normalizador.

Passo 5

Considere a ação de G por conjugação no conjunto S dos 12 subgrupos de Sylow de ordem 11^2. Isso define um homomorfismo
varphicolon G longrightarrow S12
O núcleo de varphi é
capgin G g,NG(P),g^-1 = capgin G gPg^-1,
que é a interseção de todos os Sylow de ordem 11^2. Se essa interseção contivesse um elemento não–identidade de ordem 11, teríamos um subgrupo de ordem 11 normal em G, contradizendo a simplicidade de G. Logo o núcleo é trivial e varphi é injetor, de onde G se isomorfiza a um subgrupo de S12.

Passo 6

Como G se injeta em S12, sua ordem deve dividir lvert S12rvert = 12!. Mas em 12! o fator 11 aparece apenas uma vez (pois
lfloor12/11rfloor=1), enquanto em lvert Grvert=2^2cdot3cdot11^2 o fator 11 aparece duas vezes. Portanto
11^2notmid 12!,
o que é impossível se G estivesse injetado em S12.

Resposta

Não existe grupo simples de ordem 1452.

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