Prove que não existe grupo simples de ordem 1452.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que um grupo
de ordem
não pode ser simples. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Sylow (para obter as possíveis quantidades de subgrupos de Sylow de ordem
) e a ação de conjugação de
sobre o conjunto desses subgrupos, o que dá um monomorfismo em
. Por fim, usaremos um argumento de divisibilidade de ordens para concluir a impossibilidade.
Passo 2
Fatorando a ordem de
temos
Pelo Teorema de Sylow, o número
de subgrupos de Sylow de ordem
satisfaz
Os divisores de
são
, e entre eles apenas
e
são congruentes a
módulo
. Logo
Passo 3
Se
, então há exatamente um subgrupo de Sylow de ordem
e, portanto, esse subgrupo é normal em
. Assim
não é simples. Resta então o caso
.
Passo 4
Suponha
. Escolha um subgrupo de Sylow
com
. Pelo teorema de Sylow, o índice do seu normalizador é
logo
Isto mostra que
, ou seja, cada Sylow de ordem
é seu próprio normalizador.
Passo 5
Considere a ação de
por conjugação no conjunto
dos
subgrupos de Sylow de ordem
. Isso define um homomorfismo
O núcleo de
é
que é a interseção de todos os Sylow de ordem
. Se essa interseção contivesse um elemento não–identidade de ordem
, teríamos um subgrupo de ordem
normal em
, contradizendo a simplicidade de
. Logo o núcleo é trivial e
é injetor, de onde
se isomorfiza a um subgrupo de
.
Passo 6
Como
se injeta em
, sua ordem deve dividir
. Mas em
o fator
aparece apenas uma vez (pois
), enquanto em
o fator
aparece duas vezes. Portanto
o que é impossível se
estivesse injetado em
.
Resposta
Não existe grupo simples de ordem
.