Demonstrar que não existem grupos simples de ordem pq, sendo p e q primos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um grupo
com
, onde
e
são números primos, não pode ser simples (isto é, sempre possui um subgrupo normal próprio não trivial). Para isso vamos usar o Teorema de Sylow, que dá condições sobre o número de subgrupos de Sylow de determinada ordem primeira.
Passo 2
Se
então
. Qualquer grupo de ordem
é abeliano (pois o centro não pode ser trivial) e, em todo grupo abeliano não trivial, todo subgrupo próprio é normal. Logo, quando
o grupo não é simples.
Passo 3
Logo podemos assumir sem perda de generalidade que
. Seja
o número de subgrupos de Sylow-
em
. O Teorema de Sylow diz:
-
. -
divide .
Passo 4
Como
divide
(um primo) e satisfaz
, as únicas possibilidades para
são
ou
. Mas
impede que
, pois
. Portanto só resta
Isto significa que existe exatamente um subgrupo de Sylow-
, e ele tem ordem
. Um subgrupo de Sylow único é sempre normal.
Passo 5
Como já encontramos um subgrupo normal próprio (o Sylow-
),
não pode ser simples.
Resposta
Não existem grupos simples de ordem
.