Demonstrar que não existem grupos simples de ordem pq, sendo p e q primos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um grupo G com lvert Grvert = pq, onde p e q são números primos, não pode ser simples (isto é, sempre possui um subgrupo normal próprio não trivial). Para isso vamos usar o Teorema de Sylow, que dá condições sobre o número de subgrupos de Sylow de determinada ordem primeira.

Passo 2

Se p=q então lvert Grvert =p^2. Qualquer grupo de ordem p^2 é abeliano (pois o centro não pode ser trivial) e, em todo grupo abeliano não trivial, todo subgrupo próprio é normal. Logo, quando p=q o grupo não é simples.

Passo 3

Logo podemos assumir sem perda de generalidade que p<q. Seja nq o número de subgrupos de Sylow- q em G. O Teorema de Sylow diz:
  1. nqequiv 1pmod q.
  2. nq divide lvert Grvert /q = p.

Passo 4

Como nq divide p (um primo) e satisfaz nqequiv1pmod q, as únicas possibilidades para nq são 1 ou p. Mas p<q impede que pequiv1pmod q, pois 0<p<q. Portanto só resta
nq = 1
Isto significa que existe exatamente um subgrupo de Sylow- q, e ele tem ordem q. Um subgrupo de Sylow único é sempre normal.

Passo 5

Como já encontramos um subgrupo normal próprio (o Sylow- q), G não pode ser simples.

Resposta

Não existem grupos simples de ordem pq.

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