Demonstrar que se P^prime(t)=0 para todo t no intervalo aberto (a, b), então a função matricial P é constante em (a, b).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função matricial
,P:(a,b)toR^mtimes n
diferenciável e que satisfa z
P'(t)=0forall,tin(a,b)
Queremos provar que isso implica P constante em (a,b). Para isso vamos usar que derivada e integral de funções matriciais se definem componente a componente e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Escrevendo P(t)=(Pij(t))i=1,dots,m^j=1,dots,n, a condição P'(t)=0 significa que
(Pij)'(t)=0
para todo par de índices (i,j) e todo tin(a,b). Mas, do cálculo de funções reais, sabemos que se a derivada de uma função escalar é zero num intervalo então essa função escalar é constante.

Passo 3

Logo, para cada i,j existe uma constante cij tal que
Pij(t)=cijforall,tin(a,b)
Isso implica que para quaisquer s,tin(a,b) e todo par (i,j) vale Pij(t)=Pij(s). Assim
P(t)=P(s)forall,s,tin(a,b),
isto é, P é constante em (a,b).

Resposta

A função matricial P é constante em (a,b).

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