Demonstrar que se
para todo
no intervalo aberto
, então a função matricial
é constante em
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função matricial
diferenciável e que satisfa z
diferenciável e que satisfa z
Queremos provar que isso implica
constante em
. Para isso vamos usar que derivada e integral de funções matriciais se definem componente a componente e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Escrevendo
, a condição
significa que
para todo par de índices
e todo
. Mas, do cálculo de funções reais, sabemos que se a derivada de uma função escalar é zero num intervalo então essa função escalar é constante.
Passo 3
Logo, para cada
existe uma constante
tal que
Isso implica que para quaisquer
e todo par
vale
. Assim
isto é,
é constante em
.
Resposta
A função matricial
é constante em
.