Exercício 1.6.3. Calcule as seguintes integrais:
Ii=integral d xcos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
Ii = integral dxcos(2x)
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, em particular a integral de sec. Vamos usar a identidade 1cos(2x)=sec(2x) e uma substituição simples para reduzir ao caso padrão de integralsec u,du.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em função de sec e fazendo a substituição
u = 2x, du = 2,dx Longrightarrow dx = du2,
temos
Ii = integral sec(2x),dx = integral sec(u),du2 = 12integral sec(u),du

Passo 3

Sabemos que a primitiva de sec(u) é
integral sec(u),du = lnl|sec(u)+tan(u)r| + C
Logo,
12integral sec(u),du = 12,lnl|sec(u)+tan(u)r| + C1

Passo 4

Voltando à variável original x (isto é, u=2x), obtemos
Ii = 12,lnl|sec(2x)+tan(2x)r| + C,
onde C é a constante de integração geral.

Resposta

Ii = 12,ln!l|sec(2x)+tan(2x)r| + C

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