Q 10 Classifique em verdadeira ou falsa as seguintes afirmativas. Caso falsa, exiba um contra-exemplo.
(a) A soma das integrais de duas funções definidas no mesmo intervalo é igual a integral da soma destas funções;
(b) A integral do produto de duas funções definidas no mesmo intervalo é igual ao produto das integrais destas funções;
(c) A integral de uma constante é igual a zero;
(d) Se
é uma função derivável no intervalo
tal que
, para todo
, então
é uma função constante em I;
(e) Se
é uma função derivável no intervalo
e
uma primitiva de
neste intervalo, então
(f) Se
é uma função derivável em
, então
.
(a) A soma das integrais de duas funções definidas no mesmo intervalo é igual a integral da soma destas funções;
(b) A integral do produto de duas funções definidas no mesmo intervalo é igual ao produto das integrais destas funções;
(c) A integral de uma constante é igual a zero;
(d) Se
(e) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar em verdadeira ou falsa seis afirmativas sobre integrais e derivadas, exibindo contra-exemplo sempre que a afirmativa for falsa. Os conteúdos envolvidos são: linearidade da integral, interação produto-integral, integral de constante, teorema da função constante, regra de substituição e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
(a) A integral é um operador linear. Se
é primitiva de
e
é primitiva de
, então
logo
Portanto, (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) Não existe propriedade geral que transforme integral de produto em produto de integrais. Por exemplo, tome
e
no intervalo
. Então
porém
Logo, (b) é falsa.
Passo 4
(c) A integral indefinida de uma constante
é
que não é zero (só seria zero se
e
). Por exemplo, para
,
. Assim, (c) é falsa.
Passo 5
(d) Se
em todo o intervalo
, pelo Teorema de Rolle ou pelo Teorema de Valor Médio, qualquer variação de
se anula, daí
é constante em
. Logo, (d) é verdadeira.
Passo 6
(e) A regra de substituição afirma que, se
é primitiva de
, então a composição
diferencia para
Integrando ambos os lados,
Portanto, (e) é verdadeira.
Passo 7
(f) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
é uma primitiva de
, então
E como toda antiderivada de
difere de
por uma constante, vale
Logo, (f) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Falsa. Contra-exemplo: ,
em
dá
mas
.
(c) Falsa. Contra-exemplo: .
(d) Verdadeira.
(e) Verdadeira.
(f) Verdadeira.
(b) Falsa. Contra-exemplo:
(c) Falsa. Contra-exemplo:
(d) Verdadeira.
(e) Verdadeira.
(f) Verdadeira.