Q 10 Classifique em verdadeira ou falsa as seguintes afirmativas. Caso falsa, exiba um contra-exemplo.
(a) A soma das integrais de duas funções definidas no mesmo intervalo é igual a integral da soma destas funções;
(b) A integral do produto de duas funções definidas no mesmo intervalo é igual ao produto das integrais destas funções;
(c) A integral de uma constante é igual a zero;
(d) Se g(x) é uma função derivável no intervalo I tal que g^prime(x)=0, para todo x in I, então g é uma função constante em I;
(e) Se g(x) é uma função derivável no intervalo I e F(x) uma primitiva de f neste intervalo, então
integral f(g(x)) cdot g^prime(x) d x=F(g(x))+K
(f) Se f(x) é uma função derivável em I, então dd x[integral f(x) d x]=f(x).

Passo 1

O enunciado pede para classificar em verdadeira ou falsa seis afirmativas sobre integrais e derivadas, exibindo contra-exemplo sempre que a afirmativa for falsa. Os conteúdos envolvidos são: linearidade da integral, interação produto-integral, integral de constante, teorema da função constante, regra de substituição e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

(a) A integral é um operador linear. Se F é primitiva de f e G é primitiva de g, então
(F+G)' = F' + G' = f + g,
logo
integral l(f(x)+g(x)r),dx = F(x)+G(x)+C = integral f(x),dx + integral g(x),dx
Portanto, (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) Não existe propriedade geral que transforme integral de produto em produto de integrais. Por exemplo, tome f(x)=x e g(x)=x no intervalo [0,1]. Então
integral0^1 f(x),g(x),dx = integral0^1 x^2,dx = tfrac13,
porém
l(integral0^1 f(x),dxr)l(integral0^1 g(x),dxr) = l(tfrac12r)l(tfrac12r) = tfrac14neq tfrac13
Logo, (b) é falsa.

Passo 4

(c) A integral indefinida de uma constante k é
integral k,dx = kx + C,
que não é zero (só seria zero se k=0 e C=0). Por exemplo, para k=5,
integral 5,dx = 5x + C neq 0. Assim, (c) é falsa.

Passo 5

(d) Se g'(x)=0 em todo o intervalo I, pelo Teorema de Rolle ou pelo Teorema de Valor Médio, qualquer variação de g se anula, daí g é constante em I. Logo, (d) é verdadeira.

Passo 6

(e) A regra de substituição afirma que, se F é primitiva de f, então a composição F(g(x)) diferencia para
ddxFl(g(x)r) = F'l(g(x)r)cdot g'(x) = fl(g(x)r),g'(x)
Integrando ambos os lados,
integral fl(g(x)r),g'(x),dx = Fl(g(x)r) + K
Portanto, (e) é verdadeira.

Passo 7

(f) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F é uma primitiva de f, então
ddxl(F(x)r) = f(x)
E como toda antiderivada de f difere de F por uma constante, vale
ddxl(integral f(x),dxr) = f(x)
Logo, (f) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa. Contra-exemplo: f(x)=x, g(x)=x em [0,1] integral0^1 x^2,dx=tfrac13 mas l(integral0^1 x,dxr)^2=tfrac14.
(c) Falsa. Contra-exemplo: integral 5,dx=5x+Cneq0.
(d) Verdadeira.
(e) Verdadeira.
(f) Verdadeira.

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