Demonstrar resultados das integrais dadas. Para tanto, derivar o lado direito de cada igualdade (que está em vermelho!). Considere C constante geral de integração e a e b números rais e distintos (e não nulos)
integral exp (a x) cdot cos (b x) d x=c+exp (a x) cdot[a cdot cos (b x)+b cdot sen(b x)] /(a^2+b^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de $ \exp(a x) \cdot \cos(b x) $ com relação a $ x $ é igual a $ c + \frac{\exp(a x) \cdot [a \cdot \cos(b x) + b \cdot \sin(b x)]}{a^{2} + b^{2}} $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo, especificamente à integração e diferenciação de funções envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos derivar o lado direito e mostrar que dá a expressão original da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o lado direito da igualdade que precisamos derivar:
F(x) = c + exp(a x) cdot [a cdot cos(b x) + b cdot sin(b x)]a^2 + b^2
Aqui, $ c $ é a constante de integração, que ao derivarmos, vai desaparecer porque a derivada de constante é zero.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ F(x) $ em relação a $ x $. A constante $ c $ vai embora, então sobra:
F(x)
Como $ a $ e $ b $ são constantes, podemos tirar a fração fora da derivada:
x

Passo 4

Vamos aplicar a regra do produto para derivar $ \exp(a x) $ multiplicado por $ [a \cdot \cos(b x) + b \cdot \sin(b x)] $. A regra do produto diz que $ (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Primeiro, derivamos $ \exp(a x) $:
exp(a x)
Depois, derivamos $ [a \cdot \cos(b x) + b \cdot \sin(b x)] $:
[a cdot cos(b x) + b cdot sin(b x)]

Passo 5

Agora, juntando tudo usando a regra do produto:
ddx ( exp(a x) cdot [a cdot cos(b x) + b cdot sin(b x)] ) = a cdot exp(a x) cdot [a cdot cos(b x) + b cdot sin(b x)] + exp(a x) cdot [-a b cdot sin(b x) + b^2 cdot cos(b x)]

Passo 6

Vamos distribuir $ \exp(a x) $ nas duas partes:
exp(a x)
Perceba que os termos $ a b \cdot \exp(a x) \cdot \sin(b x) $ e $ -a b \cdot \exp(a x) \cdot \sin(b x) $ se cancelam.

Passo 7

Então, sobram:
(a^2 + b^2) cdot exp(a x) cdot cos(b x)
Agora, lembrando que tudo isso estava multiplicado por $ \frac{1}{a^{2} + b^{2}} $, temos:
1a^2 + b^2

Resposta

Assim, ao derivar o lado direito da igualdade, encontramos que $ F’(x) = \exp(a x) \cdot \cos(b x) $, confirmando que a integral está correta.

Exercícios relacionados