Demonstrar resultados das integrais dadas. Para tanto, derivar o lado direito de cada igualdade (que está em vermelho!). Considere C constante geral de integração e a e b números rais e distintos (e não nulos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de $ \exp(a x) \cdot \cos(b x) $ com relação a $ x $ é igual a $ c + \frac{\exp(a x) \cdot [a \cdot \cos(b x) + b \cdot \sin(b x)]}{a^{2} + b^{2}} $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo, especificamente à integração e diferenciação de funções envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos derivar o lado direito e mostrar que dá a expressão original da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o lado direito da igualdade que precisamos derivar:
Aqui, $ c $ é a constante de integração, que ao derivarmos, vai desaparecer porque a derivada de constante é zero.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ F(x) $ em relação a $ x $. A constante $ c $ vai embora, então sobra:
Como $ a $ e $ b $ são constantes, podemos tirar a fração fora da derivada:
Passo 4
Vamos aplicar a regra do produto para derivar $ \exp(a x) $ multiplicado por $ [a \cdot \cos(b x) + b \cdot \sin(b x)] $. A regra do produto diz que $ (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Primeiro, derivamos $ \exp(a x) $:
Depois, derivamos $ [a \cdot \cos(b x) + b \cdot \sin(b x)] $:
Passo 5
Agora, juntando tudo usando a regra do produto:
Passo 6
Vamos distribuir $ \exp(a x) $ nas duas partes:
Perceba que os termos $ a b \cdot \exp(a x) \cdot \sin(b x) $ e $ -a b \cdot \exp(a x) \cdot \sin(b x) $ se cancelam.
Passo 7
Então, sobram:
Agora, lembrando que tudo isso estava multiplicado por $ \frac{1}{a^{2} + b^{2}} $, temos:
Resposta
Assim, ao derivar o lado direito da igualdade, encontramos que $ F’(x) = \exp(a x) \cdot \cos(b x) $, confirmando que a integral está correta.