Suponha conhecido que 1+x+x^2+x^3+cdots+x^n+cdots=11-x, onde |x|<1. Substitua x por -t^2 nessa identidade e explique a igualdade
arctan x=x-x^33+x^55-cdots+(-1)^n x^2 n+12 n+1+cdots
para todo -1.
Obtenha uma expressão para a primitiva integral arctan xx d x em forma de série de potências, válida no intervalo (-1,1).

Passo 1

Primeiro, vamos recapitular o que a questão pede: mostrar a expansão em série de potências de arctan x usando a identidade 1+x+x^2+cdots=1/(1-x) (substituindo x por -t^2) e depois obter a primitiva
integral arctan xx,dx
em forma de série de potências válida em (-1,1).

Passo 2

Começamos com a série geométrica
1 + u + u^2 + u^3 + cdots = 11-u, |u|<1
Fazendo u=-t^2 (valendo para |t|<1) obtemos
1 - t^2 + t^4 - t^6 + cdots = 11 + t^2

Passo 3

Sabendo que
x
podemos integrar termo a termo de 0 até |x|<1 (com arctan x - arctan 0 = integral0^x11+t^2,dt = integral0^xsumn=0^infty(-1)^n t^2n,dt ):
arctan x = sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1,
Integrando cada termo:
arctan x = x - x^33 + x^55 - cdots + (-1)^nx^2n+12n+1 + cdots
o que é exatamente

Passo 4

Para obter arctan xx, basta dividir a série acima por x:
arctan xx = sumn=0^infty(-1)^nx^2n2n+1

Passo 5

Por fim, integramos termo a termo para encontrar a primitiva:
integral arctan xx,dx = integral sumn=0^infty(-1)^nx^2n2n+1,dx = C + sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)^2

Resposta

integral arctan xx,dx = C + sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)^2, |x|<1

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