Suponha conhecido que
, onde
. Substitua
por
nessa identidade e explique a igualdade
para todo
.
Obtenha uma expressão para a primitiva
em forma de série de potências, válida no intervalo
.
Obtenha uma expressão para a primitiva
Passo 1
Primeiro, vamos recapitular o que a questão pede: mostrar a expansão em série de potências de
usando a identidade
(substituindo
por
) e depois obter a primitiva
em forma de série de potências válida em
Passo 2
Começamos com a série geométrica
Fazendo
(valendo para
) obtemos
Passo 3
Sabendo que
podemos integrar termo a termo de 0 até (com
):
podemos integrar termo a termo de 0 até
Integrando cada termo:
o que é exatamente
Passo 4
Para obter
, basta dividir a série acima por
:
Passo 5
Por fim, integramos termo a termo para encontrar a primitiva: