Seja f(x, y)=2 x y^2x^2+y^4.
lim (x, y) (0,0) x^x y^2+y^4 existe? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite de f(x,y)=x^xy^2+y^4 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é análise de limites em várias variáveis envolvendo potências, e vamos precisar usar a reescrita de uma potência como exponencial: x^g= e^g,ln x.

Passo 2

Primeiro reescrevemos f(x,y) em termos do exponencial. Definimos a função auxiliar E(x,y)=l(xy^2+y^4r),ln x. Então
["$ ","f(x,y)=x^xy^2+y^4=e^E(x,y)","","O limite de f existe se, e somente se, E(x,y) tiver limite único quando (x,y)to(0,0). Se E(x,y) tender a valores diferentes por caminhos diferentes, o limite de f não existe.

Passo 3

Agora escolhemos uma família de caminhos que vá para (0,0) mas façam E(x,y) tender a constantes distintas. Fixe um parâmetro a>0 e considere o caminho
["$ ","x=expl(-a/y^4r), yto0^+","",“Nesse caminho temos
[” ","xy^2 = e^-a/y^4,y^2to0, y^4 = y^4, ln x = -ay^4","",“Logo
[”$ ","E(x,y)=(xy^2+y^4),ln x = (underbracee^-a/y^4y^2to0+y^4)l(-ay^4r)","","Como e^-a/y^4y^2to0, fica
["$ ","E(x,y)to -a","","Portanto nesse caminho
["$ ","f(x,y)=e^E(x,y)to e^-a","","Como a é arbitrário, podemos obter qualquer valor e^-a. Logo não há um único valor de limite.

Passo 4

Concluímos que o limite de x^xy^2+y^4 quando (x,y)to(0,0) não existe, pois depende do caminho de aproximação.

Resposta

O limite não existe, pois ao usar caminhos do tipo x=exp(-a/y^4) obtemos limites distintos e^-a, variando com o parâmetro a.

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