O enunciado pede para estudar o limite de quando . O conteúdo aqui é análise de limites em várias variáveis envolvendo potências, e vamos precisar usar a reescrita de uma potência como exponencial: .
Passo 2
Primeiro reescrevemos em termos do exponencial. Definimos a função auxiliar . Então
["$","O limite de existe se, e somente se, tiver limite único quando . Se tender a valores diferentes por caminhos diferentes, o limite de não existe.
Passo 3
Agora escolhemos uma família de caminhos que vá para mas façam tender a constantes distintas. Fixe um parâmetro e considere o caminho
["$",“Nesse caminho temos
[”",“Logo
[”$","Como e^-a/y^4y^2to0, fica
["$","E(x,y)to -a","","Portanto nesse caminho
["$","f(x,y)=e^E(x,y)to e^-a","","Como a é arbitrário, podemos obter qualquer valor e^-a. Logo não há um único valor de limite.
Passo 4
Concluímos que o limite de x^xy^2+y^4 quando (x,y)to(0,0) não existe, pois depende do caminho de aproximação.
Resposta
O limite não existe, pois ao usar caminhos do tipo x=exp(-a/y^4) obtemos limites distintos e^-a, variando com o parâmetro a.