Demonstrar resultados das integrais dadas. Para tanto, derivar o lado direito de cada igualdade (que está em vermelho!). Considere C constante geral de integração e a e b números rais e distintos (e não nulos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar o resultado de uma integral. Basicamente, temos que mostrar que a expressão dada é a antiderivada da função que está dentro da integral. Para isso, vamos precisar usar a regra da derivada, que é uma parte fundamental do cálculo, mais especificamente do estudo de integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão que a gente precisa derivar. A expressão dada é:
Aqui, $ c $ é uma constante de integração, e $ a $ e $ b $ são números reais diferentes de zero. Nosso objetivo é derivar essa expressão em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos focar na parte que envolve $ x $. Temos:
Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se temos uma função $ f(g(x)) $, a derivada dela é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, vamos identificar as partes da nossa função:
- A função externa é $ f(u) = \sqrt{u} $, onde $ u = a^{2} + b{2}x{2} $.
- A função interna é $ g(x) = a^{2} + b{2}x{2} $.
Primeiro, derivamos a função externa em relação a $ u $:
Em seguida, derivamos a função interna em relação a $ x $:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando essas duas derivadas:
Simplificando os termos:
Passo 6
Observamos que a derivada acabou sendo:
Essa é exatamente a função que estava dentro da integral original. Ou seja, ao derivar a expressão dada, retornamos à função que queremos integrar.
Resposta
Portanto, demonstramos que: