Demonstrar resultados das integrais dadas. Para tanto, derivar o lado direito de cada igualdade (que está em vermelho!). Considere C constante geral de integração e a e b números rais e distintos (e não nulos)
integral x cdot(a^2+b^2 x^2)^-1 / 2 d x=c+(a^2+b^2 x^2)^1 / 2 / b^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar o resultado de uma integral. Basicamente, temos que mostrar que a expressão dada é a antiderivada da função que está dentro da integral. Para isso, vamos precisar usar a regra da derivada, que é uma parte fundamental do cálculo, mais especificamente do estudo de integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão que a gente precisa derivar. A expressão dada é:
c + raiza^2 + b^2x^2b^2
Aqui, $ c $ é uma constante de integração, e $ a $ e $ b $ são números reais diferentes de zero. Nosso objetivo é derivar essa expressão em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos focar na parte que envolve $ x $. Temos:
x
Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se temos uma função $ f(g(x)) $, a derivada dela é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, vamos identificar as partes da nossa função:
  • A função externa é $ f(u) = \sqrt{u} $, onde $ u = a^{2} + b{2}x{2} $.
  • A função interna é $ g(x) = a^{2} + b{2}x{2} $.
Primeiro, derivamos a função externa em relação a $ u $:
f(u) = raizu
Em seguida, derivamos a função interna em relação a $ x $:
u = a^2 + b^2x^2

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando essas duas derivadas:
ddx( raiza^2 + b^2x^2b^2 ) = 1b^2 cdot f'(u) cdot g'(x) = 1b^2 cdot 12raiza^2 + b^2x^2 cdot 2b^2x
Simplificando os termos:

Passo 6

Observamos que a derivada acabou sendo:
xraiza^2 + b^2x^2
Essa é exatamente a função que estava dentro da integral original. Ou seja, ao derivar a expressão dada, retornamos à função que queremos integrar.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
integral x cdot(a^2+b^2 x^2)^-1 / 2 d x = c + raiza^2 + b^2x^2b^2

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