Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
z=x^2+x y+y^2-3 x-6 y, D=0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-6y definida no quadrado D=[0,1]times[0,1]. O conteúdo é achar extremos absolutos de uma função de duas variáveis em conjunto compacto: primeiro encontramos críticos interiores via gradiente, depois analisamos as bordas e, por fim, comparamos valores nos vértices.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(2x+y-3,;x+2y-6)
Igualando cada componente a zero:
2x+y-3=0,
x+2y-6=0,
obtemos o ponto (0,3), que não pertence a D. Logo, não há pontos críticos internos.

Passo 3

Analisamos a borda x=0. Substituindo em f:
g1(y)=f(0,y)=y^2-6y
Derivada g1'(y)=2y-6 zera em y=3, fora de [0,1]. Testamos então os extremos do intervalo:
f(0,0)=0 e f(0,1)=-5.

Passo 4

Analisamos a borda x=1. Substituindo em f:
g2(y)=f(1,y)=y^2-5y-2
Derivada g2'(y)=2y-5 zera em y=2.5, fora de [0,1]. Nos pontos do intervalo:
f(1,0)=-2 e f(1,1)=-6.

Passo 5

Analisamos a borda y=0. Substituindo em f:
g3(x)=f(x,0)=x^2-3x
Derivada g3'(x)=2x-3 zera em x=1.5, fora de [0,1]. Nos extremos:
f(0,0)=0 e f(1,0)=-2.

Passo 6

Analisamos a borda y=1. Substituindo em f:
g4(x)=f(x,1)=x^2-2x-5
Derivada g4'(x)=2x-2 zera em x=1, dentro de [0,1]. Avaliamos:
f(0,1)=-5, f(1,1)=-6 (tanto no extremo interior x=1 quanto no canto).

Passo 7

Reunindo todos os valores obtidos: 0,-5,-2,-6. O maior é 0 em (0,0) e o menor é -6 em (1,1).

Resposta

Na região D, o valor mínimo absoluto é -6 em (1,1) e o valor máximo absoluto é 0 em (0,0).

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