Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
Passo 1
Temos a função
definida no quadrado
. O conteúdo é achar extremos absolutos de uma função de duas variáveis em conjunto compacto: primeiro encontramos críticos interiores via gradiente, depois analisamos as bordas e, por fim, comparamos valores nos vértices.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Igualando cada componente a zero:
obtemos o ponto
, que não pertence a
. Logo, não há pontos críticos internos.
Passo 3
Analisamos a borda
. Substituindo em
:
Derivada
zera em
, fora de
. Testamos então os extremos do intervalo:
e
.
Passo 4
Analisamos a borda
. Substituindo em
:
Derivada
zera em
, fora de
. Nos pontos do intervalo:
e
.
Passo 5
Analisamos a borda
. Substituindo em
:
Derivada
zera em
, fora de
. Nos extremos:
e
.
Passo 6
Analisamos a borda
. Substituindo em
:
Derivada
zera em
, dentro de
. Avaliamos:
,
(tanto no extremo interior
quanto no canto).
Passo 7
Reunindo todos os valores obtidos:
. O maior é
em
e o menor é
em
.
Resposta
Na região
, o valor mínimo absoluto é
em
e o valor máximo absoluto é
em
.