Calcule as integrais utilizando integração por partes e frações parciais.
integral xx^2+x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral xx^2+x-2 ,dx usando técnicas de frações parciais (e, se necessário, partes). Vamos usar o conteúdo de decomposição em frações parciais e a fórmula básica integral1x-a,dx=ln|x-a|+C.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^2+x-2:
x^2+x-2=(x-1)(x+2)

Passo 3

Em seguida, escrevemos a fração como soma de parcelas simples:
x(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2
Multiplicando em cruz: x=A(x+2)+B(x-1). Igualando coeficientes de x e termo constante, obtemos o sistema
A+B=1, 2A - B=0
Resolvendo, A=tfrac13 e B=tfrac23.

Passo 4

Agora o integral vira
integral x(x-1)(x+2),dx =integrall(1/3x-1+2/3x+2r)dx =13integral1x-1dx+23integral1x+2dx

Passo 5

Por fim, aplicamos integral1x-adx=ln|x-a|+C:
13ln|x-1|+23ln|x+2|+C

Resposta

13ln|x-1|+23ln|x+2|+C

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