Calcule as integrais.
integral0^pi / 8 sec ^2(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/8sec^2(2x),dx. Vamos usar que a derivada de tan u é sec^2 u e a técnica de substituição para lidar com o coeficiente 2 em 2x.

Passo 2

Definimos a substituição u=2x, de modo que du=2,dx e dx=tfrac12,du. Os limites também mudam: quando x=0, u=0; e quando x=pi/8, u=pi/4.

Passo 3

A integral transforma-se em
integral0^pi/8sec^2(2x),dx = tfrac12integral0^pi/4sec^2(u),du
Em seguida, usamos a primitiva integralsec^2(u),du=tan(u).

Passo 4

Aplicando a primitiva e avaliando nos limites, obtemos tfrac12[tan(u)]0^pi/4 = tfrac12(tan(pi/4)-tan(0)) = tfrac12(1-0) = tfrac12

Resposta

tfrac12

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