Demonstrar que as seguintes propriedades de normas são válidas:
Passo 1
O enunciado pede para provar, para uma norma de operador matricial induzida por uma norma vetorial
em
, as duas propriedades:
Vamos usar a definição
e a já conhecida desigualdade triangular e homogeneidade da norma vetorial
.
Passo 2
Provar
.
Para qualquer , vale a desigualdade triangular na norma vetorial:
Para qualquer
Dividindo por
e usando a definição de
e
, obtemos
Como isso vale para todo
, ao tomar o supremo segue
Passo 3
Provar
.
Para qualquer , pela homogeneidade da norma vetorial:
Para qualquer
Dividindo por
dá
Tomando supremo sobre
resulta
Resposta
As propriedades ficam demonstradas: