Demonstrar que as seguintes propriedades de normas são válidas:
|A+B| <=|A|+|B|, |c A|=|c||A|

Passo 1

O enunciado pede para provar, para uma norma de operador matricial induzida por uma norma vetorial |cdot| em R^n, as duas propriedades:
|A+B| <= |A| + |B| e |cA| = |c|,|A|
Vamos usar a definição
|A| = supxneq 0|Ax||x|,,
e a já conhecida desigualdade triangular e homogeneidade da norma vetorial |cdot|.

Passo 2

Provar |A+B|<= |A|+|B|.
Para qualquer xneq 0, vale a desigualdade triangular na norma vetorial:
|(A+B)x| = |Ax+Bx| <= |Ax| + |Bx|
Dividindo por |x| e usando a definição de |A| e |B|, obtemos
|(A+B)x||x| <= |Ax||x| + |Bx||x| <= |A| + |B|
Como isso vale para todo xneq0, ao tomar o supremo segue
|A+B| = supxneq0|(A+B)x||x| <= |A| + |B|

Passo 3

Provar |cA| = |c|,|A|.
Para qualquer xneq0, pela homogeneidade da norma vetorial:
|(cA)x| = |c,(Ax)| = |c|,|Ax|
Dividindo por |x|
|(cA)x||x| = |c|,|Ax||x| <= |c|,|A|
Tomando supremo sobre xneq0 resulta
|cA| = supxneq0|(cA)x||x| = |c|,supxneq0|Ax||x| = |c|,|A|

Resposta

As propriedades ficam demonstradas:
|A+B| <= |A| + |B|, |cA| = |c|,|A|

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