Demonstrar que sendo \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores dois a dois ortogonais, então
|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+|\vec{w}|^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que \vec{u},\vec{v} e \vec{w} são vetores dois a dois ortogonais, ou seja,
\vec{u}\cdot\vec{v}=0,\quad \vec{u}\cdot\vec{w}=0,\quad \vec{v}\cdot\vec{w}=0.
Queremos mostrar que
|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^{2} = |\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+|\vec{w}|^{2}.
O que vamos usar: definição de norma em termos de produto interno e a bilinearidade (e simetria) desse produto.

Passo 2

Lembrando que, por definição, para qualquer vetor \vec{x} vale
|\vec{x}|^{2}=\vec{x}\cdot\vec{x}.
Logo
|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^{2} =(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}).

Passo 3

Usando a bilinearidade do produto interno, expandimos
(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) =\vec{u}\cdot\vec{u} +\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{u}\cdot\vec{w} +\vec{v}\cdot\vec{u} +\vec{v}\cdot\vec{v} +\vec{v}\cdot\vec{w} +\vec{w}\cdot\vec{u} +\vec{w}\cdot\vec{v} +\vec{w}\cdot\vec{w}.

Passo 4

Como o produto interno é simétrico e os vetores são ortogonais, todos os termos cruzados são zero: \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{w}=0.
Ficam apenas os termos
\vec{u}\cdot\vec{u} +\vec{v}\cdot\vec{v} +\vec{w}\cdot\vec{w} =|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+|\vec{w}|^{2}.

Resposta

|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^{2} =|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+|\vec{w}|^{2}.

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