IMPORTANTE: Todos os exercícios abaixo envolvem função quadrática.
Questão 3) Uma empresa confecciona um certo produto A. O custo, em reais, para se produzir uma quantidade x desse produto é dado pela seguinte função:
C(x)=\left(x^{2}-30 x+1000\right) \cdot 1000
onde x é a quantidade produzida do produto A .
a) É possível produzir uma certa quantidade deste produto a um custo zero? Justifique.
b) Encontre a quantidade que deverá ser produzida para que o custo seja mínimo.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo
C(x) = \bigl(x^{2} - 30x + 1000\bigr)\cdot 1000
onde x é a quantidade produzida. O conteúdo é função quadrática: vamos usar (a) a condição de raiz real \Delta para ver se existe x com custo zero e (b) a fórmula do vértice de uma parábola para achar a produção que minimiza C(x).

Passo 2

Para verificar se existe produção com custo zero, impomos
C(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x^{2}-30x+1000\bigr)\cdot1000 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-30x+1000=0.
Essa é uma equação quadrática padrão ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=-30, c=1000.

Passo 3

Calculamos o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac = (-30)^{2}-4\cdot1\cdot1000 = 900 - 4000 = -3100.
Como \Delta<0, não existem raízes reais. Logo, não há valor real de x que zere o custo.

Passo 4

Agora buscamos o valor de x que minimiza C(x). Como a=1>0, a parábola abre para cima e seu mínimo ocorre no vértice, dado por
x_{\text{v}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-30}{2\cdot1} = 15.
Portanto, produzir 15 unidades minimiza o custo.

Resposta

a) Não é possível ter custo zero, pois a equação x^{2}-30x+1000=0 não tem soluções reais.
b) A produção que torna o custo mínimo é x = 15.

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