As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(c) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 2 & x \\\\ 1 & 4\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 2 & x\\\\ 1 & 4 \end{pmatrix}
e pede que o sistema A\,(u,v)^{T} = b tenha “0 ou 1 solução, dependendo de \,b”. Isso é característico de um sistema com posto igual ao número de colunas (aqui 2), pois aí não há variáveis livres (no máximo uma solução) e, como nem todo b estará na imagem de A, alguns b dão 0 soluções e outros dão solução única.

Passo 2

Recordando a teoria, se \mathrm{rank}(A)=n (número de colunas), o sistema tem no máximo uma solução; e como b pode ou não pertencer à coluna espaço de A, obtemos exatamente “0 ou 1 solução, a depender de b”.

Passo 3

Basta ver que \mathrm{rank}(A)=2. Por exemplo, o menor 2\times 2 formado pelas linhas 1 e 3 é
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 4\end{pmatrix} =2\cdot4-1\cdot1=8-1=7\neq0.
Logo \mathrm{rank}(A)\ge2, mas como há só 2 colunas, \mathrm{rank}(A)=2 para qualquer valor de x.

Passo 4

Como \mathrm{rank}(A)=2, o sistema tem no máximo uma solução. Nem todo b está na imagem de A, então para alguns b é inconsistente (0 soluções) e para outros há solução única (1 solução). Assim, qualquer x serve; por exemplo, escolhemos

Resposta

x=0.

Exercícios relacionados