Demonstrar, para um sistema de coordenadas cartesianas, a igualdade: \underline{\nabla} \cdot \underline{\underline{\tau}}=\underline{\nabla} s \cdot \underline{\underline{\tau}}+s \underline{\nabla} \cdot \underline{\underline{\tau}}
Passo 1
Enunciado claro: tem-se um campo escalar s(\mathbf{x}) e um campo tensorial de segunda ordem \underline{\underline{\tau}}(\mathbf{x}) definidos em coordenadas cartesianas, suaves o bastante (deriváveis). Precisa-se demonstrar a igualdade
\underline{\underline{\tau}} é um tensor de segunda ordem com componentes dependentes de \mathbf{x}.
Trabalhar em coordenadas cartesianas (portanto as componentes base são constantes e as derivadas parciais obedecem às regras usuais).
O que é pedido: provar a identidade vetorial acima (produto entre escalar e tensor, e divergência do tensor produto).
Passo 2
Escolher notação e convenções (muito importante para não se perder nos índices).
Denotar coordenadas por x_i com i=1,2,3.
Componentes do tensor \underline{\underline{\tau}} são \tau_{ij} (linha i, coluna j).
Derivada parcial em relação a x_j será \partial_j\equiv\frac{\partial}{\partial x_j}.
A divergência de um tensor de segunda ordem é o vetor cujas componentes são
isto é, a componente i do vetor \underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}} é (\partial_j s)\tau_{ij}. (Essa definição corresponde a contrair o índice do gradiente com o segundo índice do tensor, produzindo um vetor com índice livre i.)
Passo 3
Expressar o tensor produto s\,\underline{\underline{\tau}} em componentes: os componentes do tensor s\,\underline{\underline{\tau}} são
Aplicar a regra do produto para derivadas parciais (o leitor pode lembrar: \partial_j(fg)=(\partial_j f)g+f(\partial_j g) para funções f,g dependentes de \mathbf{x}). Assim
O primeiro termo (\partial_j s)\,\tau_{ij} é exatamente a componente i do vetor \underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}} conforme a convenção escolhida. Ou seja,
Se quiser checar com um exemplo rápido: tome s(x,y,z)=x e \underline{\underline{\tau}}=\underline{\underline{I}} (tensor identidade com \tau_{ij}=\delta_{ij}). Então \underline{\nabla}\cdot(s\,\underline{\underline{\tau}})=\underline{\nabla}\cdot(x\underline{\underline{I}})=(1,0,0). Pelo lado direito, \underline{\nabla}s=(1,0,0), \underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}}=(1,0,0) e s\,\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}=x\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0}. Dá (1,0,0) = (1,0,0), batendo certinho.