Demonstrar, para um sistema de coordenadas cartesianas, a igualdade: \underline{\nabla} \cdot \underline{\underline{\tau}}=\underline{\nabla} s \cdot \underline{\underline{\tau}}+s \underline{\nabla} \cdot \underline{\underline{\tau}}

Passo 1

Enunciado claro: tem-se um campo escalar s(\mathbf{x}) e um campo tensorial de segunda ordem \underline{\underline{\tau}}(\mathbf{x}) definidos em coordenadas cartesianas, suaves o bastante (deriváveis). Precisa-se demonstrar a igualdade
\underline{\nabla}\cdot\bigl(s\,\underline{\underline{\tau}}\bigr)=\underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}}+s\,\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}.
Informações dadas:
  • s é um escalar dependendo da posição \mathbf{x}.
  • \underline{\underline{\tau}} é um tensor de segunda ordem com componentes dependentes de \mathbf{x}.
  • Trabalhar em coordenadas cartesianas (portanto as componentes base são constantes e as derivadas parciais obedecem às regras usuais).
    O que é pedido: provar a identidade vetorial acima (produto entre escalar e tensor, e divergência do tensor produto).

Passo 2

Escolher notação e convenções (muito importante para não se perder nos índices).
  • Denotar coordenadas por x_i com i=1,2,3.
  • Componentes do tensor \underline{\underline{\tau}} são \tau_{ij} (linha i, coluna j).
  • Derivada parcial em relação a x_j será \partial_j\equiv\frac{\partial}{\partial x_j}.
  • A divergência de um tensor de segunda ordem é o vetor cujas componentes são
(\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}})_i=\partial_j \tau_{ij}.
(esta é a convenção usual em coordenadas cartesianas: contrai o segundo índice do tensor com a derivada).
  • O produto escalar entre o gradiente e o tensor será interpretado de forma consistente com os índices que aparecem na expansão. Vou usar a convenção
(\underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}})_i=(\partial_j s)\,\tau_{ij},
isto é, a componente i do vetor \underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}} é (\partial_j s)\tau_{ij}. (Essa definição corresponde a contrair o índice do gradiente com o segundo índice do tensor, produzindo um vetor com índice livre i.)

Passo 3

Expressar o tensor produto s\,\underline{\underline{\tau}} em componentes: os componentes do tensor s\,\underline{\underline{\tau}} são
(s\,\underline{\underline{\tau}})_{ij}=s\,\tau_{ij}.
Agora escrever a divergência desse tensor componente a componente, aplicando a definição da divergência para tensores:
\bigl(\underline{\nabla}\cdot(s\,\underline{\underline{\tau}})\bigr)_i=\partial_j\bigl((s\,\underline{\underline{\tau}})_{ij}\bigr)=\partial_j\bigl(s\,\tau_{ij}\bigr).

Passo 4

Aplicar a regra do produto para derivadas parciais (o leitor pode lembrar: \partial_j(fg)=(\partial_j f)g+f(\partial_j g) para funções f,g dependentes de \mathbf{x}). Assim
\partial_j\bigl(s\,\tau_{ij}\bigr)=(\partial_j s)\,\tau_{ij}+s\,\partial_j\tau_{ij}.

Passo 5

Reescrever cada termo usando as definições dadas:
  • O primeiro termo (\partial_j s)\,\tau_{ij} é exatamente a componente i do vetor \underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}} conforme a convenção escolhida. Ou seja,
(\partial_j s)\,\tau_{ij}=\bigl(\underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}}\bigr)_i.
  • O segundo termo s\,\partial_j\tau_{ij} é s vezes a componente i de \underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}, isto é
s\,\partial_j\tau_{ij}=s\bigl(\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}\bigr)_i.
Portanto, para cada componente i vale
\bigl(\underline{\nabla}\cdot(s\,\underline{\underline{\tau}})\bigr)_i=\bigl(\underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}}\bigr)_i+s\bigl(\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}\bigr)_i.

Passo 6

Como a igualdade componente a componente foi demonstrada e as componentes determinam o vetor, conclui-se a igualdade vetorial pedida:
\underline{\nabla}\cdot\bigl(s\,\underline{\underline{\tau}}\bigr)=\underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}}+s\,\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}.
Se quiser checar com um exemplo rápido: tome s(x,y,z)=x e \underline{\underline{\tau}}=\underline{\underline{I}} (tensor identidade com \tau_{ij}=\delta_{ij}). Então \underline{\nabla}\cdot(s\,\underline{\underline{\tau}})=\underline{\nabla}\cdot(x\underline{\underline{I}})=(1,0,0). Pelo lado direito, \underline{\nabla}s=(1,0,0), \underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}}=(1,0,0) e s\,\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}=x\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0}. Dá (1,0,0) = (1,0,0), batendo certinho.

Resposta

\underline{\nabla}\cdot\bigl(s\,\underline{\underline{\tau}}\bigr)=\underline{\nabla}s\cdot\underline{\underline{\tau}}+s\,\underline{\nabla}\cdot\underline{\underline{\tau}}.

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