Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas canalizações em série, com as seguintes características:
Trecho 1 - Diâmetro: \mathrm{D}_{1}=150 \mathrm{~mm}
Declividade: \mathrm{I}_{1}=0,060 \mathrm{~m} / \mathrm{m}
Trecho 2 - Diâmetro \mathrm{D}_{2}=200 \mathrm{~mm}
Declividade \mathrm{I}_{2}=0,007 \mathrm{~m} / \mathrm{m}
Determine a máxima e a mínima vazões no trecho para que se verifiquem as seguintes condições de norma:
a) Máxima lâmina d’água: \mathrm{y}=0,75 \mathrm{D}. Coeficiente de rugosidade de Manning, \mathrm{n}=0,013.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (não vou resolver nada ainda).
  • Dados do trecho 1:
    • Diâmetro: \,D_1=150\\ \mathrm{mm}=0,150\\ \mathrm{m}.
    • Declividade: \,I_1=0{,}060\\ \mathrm{m/m}.
  • Dados do trecho 2:
    • Diâmetro: \,D_2=200\\ \mathrm{mm}=0,200\\ \mathrm{m}.
    • Declividade: \,I_2=0{,}007\\ \mathrm{m/m}.
  • Condição normativa fornecida (parte a):
    • Máxima lâmina d’água: \,y=0{,}75\,D.
    • Coeficiente de rugosidade de Manning: \,n=0{,}013.
O enunciado pede: determinar a vazão máxima e a mínima no trecho (considerando os dois trechos em série) de modo que se verifique a condição \,y=0{,}75D.

Passo 2

Explicação do método que vou usar (a “ferramenta” teórica) e fórmulas necessárias — aula prática e direta.
  • Para escoamento em seção parcialmente preenchida usa-se a fórmula de Manning para canal aberto/conduto parcialmente cheio:
    Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
    onde:
    • \,Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
    • \,n é o coeficiente de Manning (adimensional);
    • \,A é a área molhada da seção ( \mathrm{m^2});
    • \,R é o raio hidráulico ( \,R=\dfrac{A}{P}, em \mathrm{m}), com P o perímetro molhado ( \mathrm{m});
    • \,S é a declividade da linha de energia (aqui igual à declividade do conduto \,I).
  • Para seção circular parcialmente cheia (raio \,r=D/2 e lâmina \,y):
    • O ângulo central (em radianos) correspondente à parte preenchida é \theta = 2\operatorname{arccos}\!\left(\frac{r-y}{r}\right).Observação: \theta é o ângulo da porção cheia do círculo (em rad).
    • A área molhada é A=\frac{r^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr).
    • O perímetro molhado é P=r\,\theta.
    • Portanto R=\frac{A}{P}=\frac{\dfrac{r^{2}}{2}(\theta-\sin\theta)}{r\theta}=\frac{r}{2}\cdot\frac{\theta-\sin\theta}{\theta}.
  • Observação importante (que simplifica bastante este problema):
    • A lâmina pedida é \,y=0{,}75D. Então \,y/r=1{,}5 (pois r=D/2), e veremos que isso dá um ângulo \theta bem conhecido.

Passo 3

Calcular as grandezas geométricas para \,y=0{,}75D (caso geral) — primeiro cálculo simbólico/número especial.
  • Seja r=D/2 e y=0{,}75D. Então \frac{r-y}{r}=\frac{\tfrac{D}{2}-0{,}75D}{\tfrac{D}{2}}=\frac{0{,}5D-0{,}75D}{0{,}5D}=\frac{-0{,}25D}{0{,}5D}=-0{,}5.
  • Logo \theta = 2\operatorname{arccos}(-0{,}5).Sabendo que \operatorname{arccos}(-0{,}5)=\tfrac{2\pi}{3} (120°), obtemos \theta = 2\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\\ \text{rad} \approx 4{,}18879\\ \text{rad}.
  • Agora a área normalizada (fórmula com \theta): A=\frac{r^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr).Como \sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}8660254, temos \theta-\sin\theta=\dfrac{4\pi}{3}+0{,}8660254\approx 5{,}0548156.
Portanto, para qualquer raio r com \,y=0{,}75D:
A=\frac{r^{2}}{2}\cdot 5{,}0548156,\qquad P=r\theta=r\cdot\frac{4\pi}{3}.
E
R=\frac{A}{P}=\frac{r}{2}\cdot\frac{\theta-\sin\theta}{\theta}=\frac{r}{2}\cdot\frac{5{,}0548156}{4\pi/3}.

Passo 4

Cálculo numérico para o trecho 1 ( D_1=0{,}150\\ \mathrm{m}, I_1=0{,}060).
  • Raio: r_1=\frac{D_1}{2}=0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • Área: A_1=\frac{r_1^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr) =\frac{0{,}075^{2}}{2}\cdot 5{,}0548156.Calculando: \frac{0{,}075^{2}}{2}=0{,}0028125,
A_1=0{,}0028125\cdot 5{,}0548156\approx 0{,}01422\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado: P_1=r_1\theta=0{,}075\cdot\frac{4\pi}{3}\approx 0{,}314159\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico: R_1=\frac{A_1}{P_1}\approx\frac{0{,}01422}{0{,}314159}\approx 0{,}04527\\ \mathrm{m}.
  • Termo R_1^{2/3}: R_1^{2/3}\approx 0{,}04527^{2/3}\approx 0{,}1276.
  • Aplicando Manning: Q_1=\frac{1}{n}\,A_1\,R_1^{2/3}\,I_1^{1/2}.Substituindo n=0{,}013 e I_1=0{,}060: \frac{1}{n}=76{,}9231,\qquad I_1^{1/2}=\sqrt{0{,}060}\approx 0{,}24495.Então Q_1\approx 76{,}9231\cdot 0{,}01422\cdot 0{,}1276\cdot 0{,}24495\approx 0{,}0342\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

Cálculo numérico para o trecho 2 ( D_2=0{,}200\\ \mathrm{m}, I_2=0{,}007).
  • Raio: r_2=\frac{D_2}{2}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
  • Como a forma é geometricamente similar (mesma razão y/D=0{,}75), usa-se a mesma \theta. Área: A_2=\frac{r_2^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr) =\frac{0{,}100^{2}}{2}\cdot 5{,}0548156 =0{,}005\cdot 5{,}0548156\approx 0{,}02527\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado: P_2=r_2\theta=0{,}100\cdot\frac{4\pi}{3}\approx 0{,}418879\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico: R_2=\frac{A_2}{P_2}\approx\frac{0{,}02527}{0{,}418879}\approx 0{,}06034\\ \mathrm{m}.
  • Termo R_2^{2/3}: R_2^{2/3}\approx 0{,}06034^{2/3}\approx 0{,}1539.
  • Aplicando Manning com I_2=0{,}007 e n=0{,}013: I_2^{1/2}=\sqrt{0{,}007}\approx 0{,}08367,\qquad \frac{1}{n}=76{,}9231.
Q_2\approx 76{,}9231\cdot 0{,}02527\cdot 0{,}1539\cdot 0{,}08367\approx 0{,}0250\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 6

Interpretação dos resultados (o que significam para o trecho em série).
  • Nos dois trechos, a vazão que corresponde à lâmina \,y=0{,}75D é:
    • Trecho 1 ( D_1=150\\ \mathrm{mm}): \,Q_1\approx 0{,}0342\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Trecho 2 ( D_2=200\\ \mathrm{mm}): \,Q_2\approx 0{,}0250\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Como os dois trechos estão em série a mesma vazão atravessa ambos. Para que em ambos trechos a lâmina não ultrapasse y=0{,}75D a vazão do sistema não pode exceder a menor capacidade entre os dois trechos. Portanto a vazão máxima admissível no trecho em série é o menor dos dois valores:
    Q_{\max}=\min(Q_1,Q_2)=Q_2\approx 0{,}0250\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Observação sobre vazão mínima: a condição normativa fornecida ( y=0{,}75D) impõe somente um limite superior (profundidade máxima). Essa condição não fixa um limite inferior de vazão; o valor mínimo relevante normalmente viria de outro critério (por exemplo, velocidade de auto-limpeza), que não foi fornecido no enunciado. Assim, pela informação dada, não há um valor mínimo determinado por essa condição.

Resposta

Q_{150\,\text{mm}} \approx 0{,}0342\\ \mathrm{m^{3}/s}
Q_{200\,\text{mm}} \approx 0{,}0250\\ \mathrm{m^{3}/s}
Vazão máxima admissível no trecho em série: Q_{\max}\approx 0{,}0250\\ \mathrm{m^{3}/s}
Vazão mínima: não definida pela condição y=0{,}75D (é necessário outro critério, por ex. velocidade mínima de auto‑limpeza).

Exercícios relacionados