Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas canalizações em série, com as seguintes características:
Trecho 1 - Diâmetro: \mathrm{D}_{1}=150 \mathrm{~mm}
Declividade: \mathrm{I}_{1}=0,060 \mathrm{~m} / \mathrm{m}
Trecho 2 - Diâmetro \mathrm{D}_{2}=200 \mathrm{~mm}
Declividade \mathrm{I}_{2}=0,007 \mathrm{~m} / \mathrm{m}
Determine a máxima e a mínima vazões no trecho para que se verifiquem as seguintes condições de norma:
c) Máxima velocidade: \mathrm{V}=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Coeficiente de rugosidade de Manning, \mathrm{n}=0,013.

Passo 1

O enunciado dá um trecho de esgoto composto por duas canalizações em série e pede para determinar a vazão máxima e a vazão mínima no trecho, obedecendo a condição da alínea (c):
  • Trecho 1:
    • Diâmetro \mathrm{D}_{1}=0,150\\ \mathrm{m}.
    • Declividade \mathrm{I}_{1}=0,060\\ \mathrm{m}/\mathrm{m}.
  • Trecho 2:
    • Diâmetro \mathrm{D}_{2}=0,200\\ \mathrm{m}.
    • Declividade \mathrm{I}_{2}=0,007\\ \mathrm{m}/\mathrm{m}.
  • Condição de norma (alínea c): velocidade máxima permitida \mathrm{V}_{\max}=4{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Coeficiente de Manning: n=0{,}013.
O que é pedido explicitamente neste caso: determinar a vazão máxima e a vazão mínima no trecho, considerando a condição dada. Observação importante (já já uso isto para resolver): para que o trecho “obedeça a norma” devemos verificar tanto o limite por velocidade máxima quanto a capacidade hidráulica real da tubulação (Manning). Além disso, por se tratar de tubos em série, a vazão que atravessa o trecho é única e limitada pelo trecho de menor capacidade.

Passo 2

Plano de ataque e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Fórmula da vazão a partir da velocidade média:
    Q = V \cdot A,
    onde Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}), V é a velocidade média ( \mathrm{m}/\mathrm{s}) e A é a área da seção transversal ( \mathrm{m}^2). Para um tubo circular cheio,
    A = \frac{\pi D^2}{4}.
  • Fórmula de Manning (para escoamento uniforme) que dá a vazão máxima teoricamente disponível num trecho quando o tubo está cheio:
    Q = \frac{1}{n}\;A\;R^{2/3}\;S^{1/2},
    onde
    • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional),
    • A é a área da seção ( \mathrm{m}^2),
    • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido como R = A/P com P perímetro molhado; para tubo circular cheio vale R = D/4,
    • S é a declividade do conduto (adimensional), no enunciado dada como I.
Explicação do raciocínio prático:
  • Para cada trecho calculo a vazão correspondente à velocidade limite: Q_{V} = V_{\max}\cdot A.
  • Calculo também a vazão que o trecho consegue transportar quando cheio segundo Manning: Q_{Manning}.
  • A vazão real máxima admissível naquele trecho será o menor entre Q_{V} e Q_{Manning}: se a tubulação, por atrito, só consegue transportar menos vazão do que a que geraria 4\\ \mathrm{m/s}, então o limite real é a capacidade de Manning; se a capacidade de Manning permite mais do que Q que daria 4\\ \mathrm{m/s}, o limite passa a ser Q_{V}.
  • Como os tubos estão em série, a vazão que atravessa todo o trecho é a mesma; por isso a vazão máxima admissível do trecho em série será o menor entre os limites máximos de cada trecho (o gargalo).

Passo 3

Cálculo das áreas e raios hidráulicos (passo a passo).
  • Para o trecho 1 ( D_1=0{,}150\\ \mathrm{m}): A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}150)^2}{4}
(0{,}150)^2 = 0{,}0225,\qquad \frac{0{,}0225}{4}=0{,}005625
A_1 = \pi\cdot 0{,}005625 \approx 0{,}017671\\ \mathrm{m}^2.
Raio hidráulico cheio:
R_1 = \frac{D_1}{4} = \frac{0{,}150}{4} = 0{,}0375\\ \mathrm{m}.
  • Para o trecho 2 ( D_2=0{,}200\\ \mathrm{m}): A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi (0{,}200)^2}{4}
(0{,}200)^2 = 0{,}0400,\qquad \frac{0{,}0400}{4}=0{,}0100
A_2 = \pi\cdot 0{,}0100 \approx 0{,}031416\\ \mathrm{m}^2.
Raio hidráulico cheio:
R_2 = \frac{D_2}{4} = \frac{0{,}200}{4} = 0{,}0500\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo das vazões correspondentes à velocidade máxima V_{\max}=4{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Trecho 1:
    Q_{V1} = V_{\max}\cdot A_1 = 4{,}0\cdot 0{,}017671 \approx 0{,}07068\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Trecho 2:
    Q_{V2} = V_{\max}\cdot A_2 = 4{,}0\cdot 0{,}031416 \approx 0{,}12566\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Observação: estes são os valores de vazão que, se passarem pelo respectivo tubo cheio, dariam exatamente 4{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Se a tubulação não suportar essa vazão por atrito, então não se alcançaria essa velocidade; por isso precisamos comparar com a capacidade dada por Manning.

Passo 5

Cálculo das capacidades segundo Manning (tubos cheios).
Aplicando
Q = \frac{1}{n}\;A\;R^{2/3}\;S^{1/2}.
  • Trecho 1 ( n=0{,}013,\\ A_1=0{,}017671,\\ R_1=0{,}0375,\\ S_1=0{,}060):
    Calculando etapas:
    R_1^{2/3} = (0{,}0375)^{2/3} \approx 0{,}1119
    (valor obtido por cálculo numérico da potência).
    S_1^{1/2} = \sqrt{0{,}060} \approx 0{,}24495.
    Agora:
    Q_{M1} = \frac{1}{0{,}013}\cdot 0{,}017671 \cdot 0{,}1119 \cdot 0{,}24495.
    Multiplicando passo a passo:
    0{,}1119\cdot 0{,}24495 \approx 0{,}027382,
0{,}017671\cdot 0{,}027382 \approx 0{,}0004833,
\frac{1}{0{,}013}\approx 76{,}92308,
Q_{M1} \approx 76{,}92308\cdot 0{,}0004833 \approx 0{,}03718\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondando: Q_{M1}\approx 0{,}0372\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Trecho 2 ( n=0{,}013,\\ A_2=0{,}031416,\\ R_2=0{,}0500,\\ S_2=0{,}007):
    R_2^{2/3} = (0{,}0500)^{2/3} \approx 0{,}1357,
S_2^{1/2} = \sqrt{0{,}007} \approx 0{,}083666.
0{,}1357\cdot 0{,}083666 \approx 0{,}011353,
0{,}031416\cdot 0{,}011353 \approx 0{,}0003567,
Q_{M2} \approx 76{,}92308\cdot 0{,}0003567 \approx 0{,}02744\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondando: Q_{M2}\approx 0{,}0274\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 6

Comparação entre limites (velocidade máxima versus capacidade Manning) e escolha da vazão máxima admissível no trecho em série.
  • Trecho 1:
    • Q_{V1}\approx 0{,}07068\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} (limitado por V_{\max}).
    • Q_{M1}\approx 0{,}03718\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} (capacidade real pelo atrito).
    • O limite efetivo para o trecho 1 é o menor: Q_{1,\max}=\min(Q_{V1},Q_{M1}) = Q_{M1}\approx 0{,}0372\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • Velocidade correspondente a Q_{M1}: V_1 = Q_{M1}/A_1 \approx 0{,}03718/0{,}017671 \approx 2{,}10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (abaixo de 4{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}).
  • Trecho 2:
    • Q_{V2}\approx 0{,}12566\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • Q_{M2}\approx 0{,}02744\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • O limite efetivo para o trecho 2 é Q_{2,\max}=Q_{M2}\approx 0{,}0274\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • Velocidade correspondente a Q_{M2}: V_2 = Q_{M2}/A_2 \approx 0{,}02744/0{,}031416 \approx 0{,}873\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Como os dois tubos estão em série, a vazão que atravessa o conjunto não pode exceder a capacidade do trecho mais restritivo (gargalo). Assim a vazão máxima admissível do trecho em série será:
    Q_{\max} = \min\bigl(Q_{1,\max},\,Q_{2,\max}\bigr) = \min\bigl(0{,}03718,\;0{,}02744\bigr)\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 0{,}02744\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Interpretando em palavras: embora a norma imponha um teto de velocidade de 4{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, a inclinação e a rugosidade da tubulação limitam mais severamente a vazão possível; o tubo de 200\\ \mathrm{mm} com declividade baixa ( 0{,}007) é o gargalo.

Passo 7

Sobre a vazão mínima solicitada no enunciado.
  • O enunciado pede também a “mínima vazão no trecho”, mas na alínea (c) foi dada apenas a velocidade máxima \mathrm{V}_{\max}=4{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e o coeficiente n. Para determinar uma vazão mínima é necessário ter uma condição normativa adicional que fixe um limite inferior (por exemplo: velocidade mínima de auto-limpeza, geralmente especificada pela norma, como V_{\min} — ex.: 0{,}6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} — ou uma fração mínima de enchimento). Essa informação NÃO consta no enunciado fornecido.
  • Portanto não é possível determinar numericamente a vazão mínima solicitada sem que se informe qual critério normativo de mínimo deve ser aplicado (por exemplo, V_{\min} ou outro critério). Se desejar, posso calcular um exemplo hipotético (por exemplo usando V_{\min}=0{,}6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}) para mostrar como se faria; mas tal resultado seria apenas ilustrativo e não definitivo.

Resposta

Q_{\max} = 0,02744\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
Não é possível determinar Q_{\min} com os dados fornecidos, porque falta a condição normativa de limite inferior (por exemplo V_{\min}); é preciso informar qual critério mínimo aplicar para calcular a vazão mínima.

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