Calcular
\nabla
\cdot
v
em cordenadas:
(a) cartesianas

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o divergente do campo vetorial \underline{v} em coordenadas cartesianas.
Informações dadas (implícitas e que vamos usar):
  • Existe um campo vetorial \underline{v}=\underline{v}(x,y,z) definido nas coordenadas cartesianas.
  • Podemos escrever as componentes desse campo como \,v_x(x,y,z), \,v_y(x,y,z) e \,v_z(x,y,z).
  • A tarefa é obter a expressão geral de \underline{\nabla}\cdot\underline{v} em termos dessas componentes.

Passo 2

O operador \underline{\nabla} (nabla) é o operador vetorial das derivadas parciais. Em coordenadas cartesianas ele se representa por
\underline{\nabla}=\hat{\mathbf{e}}_x\frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{e}}_y\frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{e}}_z\frac{\partial}{\partial z},
onde:
  • \hat{\mathbf{e}}_x,\hat{\mathbf{e}}_y,\hat{\mathbf{e}}_z são os vetores unitários das direções x,y,z, respectivamente;
  • \dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z} são as derivadas parciais em relação a x,y,z.
    Explicação rápida sobre derivadas parciais: \dfrac{\partial}{\partial x} significa “derivar mantendo y e z fixos”. É como olhar a variação do campo apenas ao mover-se na direção x.

Passo 3

Escrevemos o campo vetorial \underline{v} na base cartesiana como
\underline{v}=v_x(x,y,z)\,\hat{\mathbf{e}}_x+v_y(x,y,z)\,\hat{\mathbf{e}}_y+v_z(x,y,z)\,\hat{\mathbf{e}}_z.
Importante: em coordenadas cartesianas os vetores unitários \hat{\mathbf{e}}_x,\hat{\mathbf{e}}_y,\hat{\mathbf{e}}_z são constantes no espaço (não dependem de x,y,z). Isso simplifica a conta, porque as derivadas dos vetores unitários são zero.

Passo 4

O divergente é o produto escalar entre \underline{\nabla} e \underline{v}:
\underline{\nabla}\cdot\underline{v}=\left(\hat{\mathbf{e}}_x\frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{e}}_y\frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{e}}_z\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left(v_x\hat{\mathbf{e}}_x+v_y\hat{\mathbf{e}}_y+v_z\hat{\mathbf{e}}_z\right).
Agora distribuímos o produto escalar. Como \hat{\mathbf{e}}_i\cdot\hat{\mathbf{e}}_j=\delta_{ij} (delta de Kronecker, vale 1 se i=j e 0 se i\neq j) e os vetores unitários são constantes, cada termo dá uma derivada parcial da componente correspondente. Desenvolvendo explicitamente:
\underline{\nabla}\cdot\underline{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}.
Interpretação do passo: cada termo \dfrac{\partial v_i}{\partial x_i} mede a taxa de variação da componente do fluxo na sua própria direção; o divergente soma essas taxas — se for positivo há “fonte” local, se negativo há “sumidouro” local.

Passo 5

Alguns exemplos práticos (para fixar o método):
  • Se \underline{v}=(x,y,z) então \underline{\nabla}\cdot\underline{v}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
  • Se \underline{v}=(x^2,y^2,z^2) então \underline{\nabla}\cdot\underline{v}= \frac{\partial x^2}{\partial x}+\frac{\partial y^2}{\partial y}+\frac{\partial z^2}{\partial z}=2x+2y+2z.
Dica de prova: escreva sempre o campo em componentes, aplique \partial/\partial x só sobre v_x (não sobre \hat{\mathbf{e}}_x porque ele é constante) e assim por diante.

Passo 6

Resumo prático para a prova: em coordenadas cartesianas a fórmula é direta e fácil de decorar — é apenas a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis próprias. Lembre-se da razão: vetores unitários constantes tornam essa expressão simples. Para outros sistemas de coordenadas (cilíndricas, esféricas) a expressão muda porque as bases não são constantes; mas isso fica para depois.

Resposta

\underline{\nabla}\cdot\underline{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}

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