Calcular \nabla
\cdot v
em cordenadas:
(a) cartesianas
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o divergente do campo vetorial \underline{v} em coordenadas cartesianas.
Informações dadas (implícitas e que vamos usar):
Existe um campo vetorial \underline{v}=\underline{v}(x,y,z) definido nas coordenadas cartesianas.
Podemos escrever as componentes desse campo como \,v_x(x,y,z), \,v_y(x,y,z) e \,v_z(x,y,z).
A tarefa é obter a expressão geral de \underline{\nabla}\cdot\underline{v} em termos dessas componentes.
Passo 2
O operador \underline{\nabla} (nabla) é o operador vetorial das derivadas parciais. Em coordenadas cartesianas ele se representa por
\hat{\mathbf{e}}_x,\hat{\mathbf{e}}_y,\hat{\mathbf{e}}_z são os vetores unitários das direções x,y,z, respectivamente;
\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z} são as derivadas parciais em relação a x,y,z.
Explicação rápida sobre derivadas parciais: \dfrac{\partial}{\partial x} significa “derivar mantendo y e z fixos”. É como olhar a variação do campo apenas ao mover-se na direção x.
Passo 3
Escrevemos o campo vetorial \underline{v} na base cartesiana como
Importante: em coordenadas cartesianas os vetores unitários \hat{\mathbf{e}}_x,\hat{\mathbf{e}}_y,\hat{\mathbf{e}}_z são constantes no espaço (não dependem de x,y,z). Isso simplifica a conta, porque as derivadas dos vetores unitários são zero.
Passo 4
O divergente é o produto escalar entre \underline{\nabla} e \underline{v}:
Agora distribuímos o produto escalar. Como \hat{\mathbf{e}}_i\cdot\hat{\mathbf{e}}_j=\delta_{ij} (delta de Kronecker, vale 1 se i=j e 0 se i\neq j) e os vetores unitários são constantes, cada termo dá uma derivada parcial da componente correspondente. Desenvolvendo explicitamente:
Interpretação do passo: cada termo \dfrac{\partial v_i}{\partial x_i} mede a taxa de variação da componente do fluxo na sua própria direção; o divergente soma essas taxas — se for positivo há “fonte” local, se negativo há “sumidouro” local.
Passo 5
Alguns exemplos práticos (para fixar o método):
Se \underline{v}=(x,y,z) então\underline{\nabla}\cdot\underline{v}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
Se \underline{v}=(x^2,y^2,z^2) então\underline{\nabla}\cdot\underline{v}= \frac{\partial x^2}{\partial x}+\frac{\partial y^2}{\partial y}+\frac{\partial z^2}{\partial z}=2x+2y+2z.
Dica de prova: escreva sempre o campo em componentes, aplique \partial/\partial x só sobre v_x (não sobre \hat{\mathbf{e}}_x porque ele é constante) e assim por diante.
Passo 6
Resumo prático para a prova: em coordenadas cartesianas a fórmula é direta e fácil de decorar — é apenas a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis próprias. Lembre-se da razão: vetores unitários constantes tornam essa expressão simples. Para outros sistemas de coordenadas (cilíndricas, esféricas) a expressão muda porque as bases não são constantes; mas isso fica para depois.