Demonstrar:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, a partir de uma única desigualdade
, a média aritmética de
e
, isto é
, fica estritamente entre eles. Vamos usar as propriedades de desigualdades: adicionar a mesma quantidade nos dois lados e dividir por um número positivo mantém a relação.
Passo 2
Como
, somamos
em ambos os lados, obtendo
, ou seja,
. Em seguida, como
, dividimos tudo por 2 e preservamos a desigualdade, chegando a
.
Passo 3
De modo análogo, a partir de
somamos
em ambos os lados, o que dá
, isto é
. Como dividimos por 2 (número positivo), conseguimos
.
Passo 4
Agora unimos as duas desigualdades obtidas,
e
, usando a transitividade: fica
.
Resposta
Logo, demonstramos que, se
, então
.