Demonstrar:
Se x, então x<12(x+y).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, a partir de uma única desigualdade x, a média aritmética de x e y, isto é tfracx+y2, fica estritamente entre eles. Vamos usar as propriedades de desigualdades: adicionar a mesma quantidade nos dois lados e dividir por um número positivo mantém a relação.

Passo 2

Como x, somamos x em ambos os lados, obtendo x+x< x+y, ou seja, 2x< x+y. Em seguida, como 2>0, dividimos tudo por 2 e preservamos a desigualdade, chegando a x.

Passo 3

De modo análogo, a partir de x somamos y em ambos os lados, o que dá x+y, isto é x+y<2y. Como dividimos por 2 (número positivo), conseguimos tfracx+y2.

Passo 4

Agora unimos as duas desigualdades obtidas, x e tfracx+y2, usando a transitividade: fica x.

Resposta

Logo, demonstramos que, se x, então x.

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