Resolva as EDOs via método de séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
usando o método de séries de potências. Esse método envolve escrever a solução como uma série em potências de
, calcular derivadas como séries e comparar coeficientes para encontrar uma relação de recorrência.
Passo 2
Assumimos a solução na forma
Calculamos então as derivadas termo a termo:
Passo 3
Para igualar as potências, reindexamos as somas usando
em
e
em
:
Passo 4
Substituindo na EDO e agrupando coeficientes de
:
Para anular essa soma para todo
, cada coeficiente deve ser zero, ou seja:
.
Passo 5
Dividindo por
(que não é zero para
) obtemos a recorrência
Isso mostra que todo coeficiente a partir de
depende de
.
Passo 6
Calculando alguns termos:
O coeficiente
permanece livre.
Passo 7
Escrevendo a série completa:
Definindo
e
, concluímos a forma da solução geral.