Resolva as EDOs via método de séries de potências:
y^prime prime-y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' - y' = 0 usando o método de séries de potências. Esse método envolve escrever a solução como uma série em potências de x, calcular derivadas como séries e comparar coeficientes para encontrar uma relação de recorrência.

Passo 2

Assumimos a solução na forma
y = sumn=0^infty an x^n
Calculamos então as derivadas termo a termo:
y' = sumn=1^infty n,an x^n-1,
y'' = sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2

Passo 3

Para igualar as potências, reindexamos as somas usando m = n-1 em y' e m = n-2 em y'':
y' = summ=0^infty (m+1),am+1 x^m,
y'' = summ=0^infty (m+2)(m+1),am+2 x^m

Passo 4

Substituindo na EDO e agrupando coeficientes de x^m:
summ=0^inftyl((m+2)(m+1)am+2 - (m+1)am+1r)x^m = 0
Para anular essa soma para todo x, cada coeficiente deve ser zero, ou seja:
(m+2)(m+1)am+2 - (m+1)am+1 = 0.

Passo 5

Dividindo por m+1 (que não é zero para m>=0) obtemos a recorrência
am+2 = am+1m+2, m>=0
Isso mostra que todo coeficiente a partir de a2 depende de a1.

Passo 6

Calculando alguns termos:
a2 = a12, a3 = a23 = a12cdot3, an = a1n! para n>=1
O coeficiente a0 permanece livre.

Passo 7

Escrevendo a série completa:
y = a0 + a1 x + sumn=2^infty a1n!x^n = a0 + a1sumn=1^inftyx^nn! = a0 + a1(e^x - 1)
Definindo C1 = a1 e C2 = a0 - a1, concluímos a forma da solução geral.

Resposta

y = C1 e^x + C2

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