Demonstrar:
se e somente se
ou
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um real
, vale para todo
:
O conteúdo usado será a definição de valor absoluto em dois casos (
e
) e a propriedade de que, para todo
,
e
.
Passo 2
Provar
.
Considere dois casos:
Considere dois casos:
Se
, então por definição
. Como
, segue
ou seja,
.
Se
, então
. De
obtemos
Em ambos os casos aparece a alternativa desejada.
Passo 3
Provar
.
Também dividimos em dois subcasos:
Também dividimos em dois subcasos:
Se
, então usando
segue
Se
, então
e como sempre
, temos
Assim em qualquer caso
.
Resposta
Concluímos que, para todo
e todo
,