Demonstrar:
|x|>a se e somente se x>a ou x<-a, onde a<0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um real a<0, vale para todo xinR:
|x|>aLong<=ftrightarrow x>a;ou;x<-a
O conteúdo usado será a definição de valor absoluto em dois casos ( x>=0 e x<0) e a propriedade de que, para todo x, |x|>= x e |x|>= -x.

Passo 2

Provar |x|>aimplies x>a;ou;x<-a.
Considere dois casos:
Se x>=0, então por definição |x|=x. Como a<0, segue
x=|x|>a,
ou seja, x>a.
Se x<0, então |x|=-x. De |x|>a obtemos
-x> a Longrightarrow x<-a
Em ambos os casos aparece a alternativa desejada.

Passo 3

Provar x>a;ou;x<-aimplies |x|>a.
Também dividimos em dois subcasos:
Se x>a, então usando |x|>= x segue
|x|>= x>a Longrightarrow |x|>a
Se x<-a, então -x>a e como sempre |x|>= -x, temos
|x|>= -x>a Longrightarrow |x|>a
Assim em qualquer caso |x|>a.

Resposta

Concluímos que, para todo a<0 e todo xinR,
|x|>ase e somente se x>a;ou;x<-a

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