Demonstrar que se
onde
é uma função diferenciável, então:
Observação: Nas questões a seguir, de diferenciação formal desta lista de exercícios, vamos supor que estão asseguradas as condições de regularidade para as funções examinadas.
Passo 1
O enunciado define uma função de duas variáveis
onde
é diferenciável e
é constante. O objetivo é mostrar que as derivadas parciais satisfazem
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para diferenciação de funções compostas.
Passo 2
Introduzimos a variável intermediária
Assim, podemos ver
como uma função composta de
:
Isso transformou o problema numa aplicação direta da regra da cadeia.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para calcular a derivada parcial de
em relação a
. Como
depende de
e
, temos
Mas
, pois
varia unitariamente com
. Logo
Passo 4
Do mesmo modo, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui
, pois
varia com razão
em relação a
. Assim
Passo 5
Comparando os resultados de
Passo 6
Portanto
como se queria demonstrar.