Demonstrar que se
z=f(x+a y),
onde f é uma função diferenciável, então:
\frac{\partial z}{\partial y}=a \frac{\partial z}{\partial x}
Observação: Nas questões a seguir, de diferenciação formal desta lista de exercícios, vamos supor que estão asseguradas as condições de regularidade para as funções examinadas.

Passo 1

O enunciado define uma função de duas variáveis
z = f(x + a\,y)
onde f é diferenciável e a é constante. O objetivo é mostrar que as derivadas parciais satisfazem
\frac{\partial z}{\partial y} = a\,\frac{\partial z}{\partial x}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para diferenciação de funções compostas.

Passo 2

Introduzimos a variável intermediária
u = x + a\,y.
Assim, podemos ver z como uma função composta de u:
z = f(u).
Isso transformou o problema numa aplicação direta da regra da cadeia.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para calcular a derivada parcial de z em relação a x. Como u depende de x e y, temos
\frac{\partial z}{\partial x} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Mas \partial u/\partial x = 1, pois u = x + a\,y varia unitariamente com x. Logo
\frac{\partial z}{\partial x} = f'(u)\cdot 1 = f'(u).

Passo 4

Do mesmo modo, calculamos a derivada parcial de z em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui \partial u/\partial y = a, pois u = x + a\,y varia com razão a em relação a y. Assim
\frac{\partial z}{\partial y} = f'(u)\cdot a = a\,f'(u).

Passo 5

Comparando os resultados de

Passo 6

\frac{\partial z}{\partial y} = a\,f'(u) \quad\text{e}\quad \frac{\partial z}{\partial x} = f'(u).
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y} = a\,\frac{\partial z}{\partial x},
como se queria demonstrar.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial y} = a\,\frac{\partial z}{\partial x}.

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