Supondo que
u=\Phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right),
onde x=R \cos \varphi \cos \psi, y=R \cos \varphi \sin \psi, z=R \sin \psi, então:
\frac{\partial u}{\partial \varphi}=0 \quad \text { e } \quad \frac{\partial u}{\partial \psi}=0
Observação: Nas questões a seguir, de diferenciação formal desta lista de exercícios, vamos supor que estão asseguradas as condições de regularidade para as funções examinadas.

Passo 1

O enunciado define
u=\Phi\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
com
x=R\cos\varphi\cos\psi,\quad y=R\cos\varphi\sin\psi,\quad z=R\sin\psi,
e pede para mostrar que \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \varphi}=0 e \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \psi}=0.
Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e o fato de que \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.

Passo 2

Para \partial u/\partial\varphi, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial \varphi} =\Phi^{\prime}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\, \frac{\partial}{\partial \varphi}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 3

Em coordenadas esféricas clássicas (com \varphi colatitude e \psi longitude) temos
x^{2}+y^{2}+z^{2} =R^{2},
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\frac{\partial}{\partial \varphi}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=0.

Passo 4

Substituindo no passo anterior:
\frac{\partial u}{\partial \varphi} =\Phi^{\prime}(R^{2})\cdot 0 =0.

Passo 5

De modo idêntico para \psi:
\frac{\partial u}{\partial \psi} =\Phi^{\prime}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\, \frac{\partial}{\partial \psi}(x^{2}+y^{2}+z^{2}) =\Phi^{\prime}(R^{2})\cdot 0 =0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \varphi}=0 e \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \psi}=0

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