Demonstre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
. Esse problema envolve limites de funções e vamos precisar usar que
é limitada e o teorema do confronto (ou teorema do sanduíche).
Passo 2
Lembrando que para todo número real
vale
. Aqui usamos
, mas a propriedade continua válida:
.
Multiplicamos essa desigualdade por , que é sempre não-negativo quando
está próximo de zero, obtendo a cadeia:
Multiplicamos essa desigualdade por
Passo 3
Agora analisamos os limites das funções que “confinam” nossa função-alvo. A gente sabe que
e
, porque potências de
com expoentes positivos tendem a zero.
Pelo teorema do confronto, se uma função está entre outras duas que têm o mesmo limite quando
se aproxima de um ponto, então ela também tende a
. Logo,
.
Pelo teorema do confronto, se uma função está entre outras duas que têm o mesmo limite
Resposta
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