Demonstre que .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limxto 0 x^4cos(2/x) = 0. Esse problema envolve limites de funções e vamos precisar usar que cos é limitada e o teorema do confronto (ou teorema do sanduíche).

Passo 2

Lembrando que para todo número real t vale -1 <= cos t <= 1. Aqui usamos t = 2/x, mas a propriedade continua válida: -1 <= cos(2/x) <= 1.
Multiplicamos essa desigualdade por x^4, que é sempre não-negativo quando x está próximo de zero, obtendo a cadeia:
-x^4 <= x^4cos(2/x) <= x^4

Passo 3

Agora analisamos os limites das funções que “confinam” nossa função-alvo. A gente sabe que limxto 0 -x^4 = 0 e limxto 0 x^4 = 0, porque potências de x com expoentes positivos tendem a zero.
Pelo teorema do confronto, se uma função está entre outras duas que têm o mesmo limite L quando x se aproxima de um ponto, então ela também tende a L. Logo, limxto 0 x^4cos(2/x) = 0.

Resposta

0

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