Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz das seguintes funções no intervalo especificado.
f(x)=x-cos (x),[0,1]

Passo 1

Enunciado: mostrar que a equação f(x)=x-cos(x)=0 tem uma solução em [0,1]. Matéria: Teorema do Valor Intermediário. Precisamos verificar que f é contínua em [0,1] e que assume valores de sinais opostos em 0 e 1.

Passo 2

Verificar continuidade: como f(x)=x-cos(x) é diferença de funções contínuas (função identidade e função cosseno) em todo R, concluímos que f é contínua em [0,1].

Passo 3

Avaliar nos extremos:
Avaliação em 0:
f(0)=0-cos(0)=0-1=-1<0
Avaliação em 1:
f(1)=1-cos(1)approx1-0,5403=0,4597>0
Portanto, f(0) e f(1) têm sinais opostos.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário: como f é contínua em [0,1] e f(0)<0< f(1), existe cin(0,1) tal que f(c)=0. Logo há pelo menos uma raiz de f em (0,1).

Resposta

Existe pelo menos uma raiz de f(x)=x-cos(x) no intervalo (0,1) em virtude do Teorema do Valor Intermediário.

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