Demonstre que:
(a) 18^6 equiv 1(bmod 49)
(b) 18^6 equiv 1(bmod 343)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ,18^6equiv1pmod49 e ,18^6equiv1pmod343. Vamos usar aritmética modular e o método de exponenciação rápida (repeated squaring) para calcular potências de 18 módulo 49 e módulo 343.

Passo 2

Calculemos primeiro em bmod 49:
18^2 = 324 = 49cdot6 + 30,
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18^2 equiv 30 pmod49

Passo 3

Ainda em bmod 49, elevamos ao quadrado para obter 18^4 e depois 18^6:
18^4 = (18^2)^2 equiv 30^2 = 900 = 49cdot18 + 18,
portanto
18^4 equiv 18 pmod49
Multiplicando por 18^2:
18^6 = 18^4cdot18^2 equiv 18cdot30 = 540 = 49cdot11 + 1,
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18^6 equiv 1 pmod49

Passo 4

Agora no módulo 343. Primeiro
18^2 = 324 = 343 - 19,
então
18^2 equiv -19 pmod343

Passo 5

Elevando ao quadrado e em seguida multiplicando:
18^4 = (18^2)^2 equiv (-19)^2 = 361 = 343 + 18,
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18^4 equiv 18 pmod343
E
18^6 = 18^4cdot18^2 equiv 18cdot(-19) = -342 = 343cdot(-1) + 1,
portanto
18^6 equiv 1 pmod343

Resposta

(a) ,18^6equiv1pmod49
(b) ,18^6equiv1pmod343

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