A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio polinômio característico é p(t)=(t-3)^5(t-5)^5 e cujo polinômio mínimo é m(t)= (t-3)^3(t-5)^2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos todas as formas canônicas de Jordan sobre C de uma matriz A cujo polinômio característico é
p(t)=(t-3)^5(t-5)^5
e cujo polinômio mínimo é
m(t)=(t-3)^3(t-5)^2
Conteúdo: teoria das formas canônicas de Jordan, em particular a relação entre expoentes em m(t) e tamanhos dos blocos de Jordan.

Passo 2

Teorema chave: para cada valor próprio lambda, o expoente de (t-lambda) em m(t) é igual ao tamanho do maior bloco de Jordan associado a lambda. Além disso, a soma dos tamanhos de todos os blocos para lambda deve ser a multiplicidade algébrica de lambda em p(t).

Passo 3

Eigenvalor lambda=3: tem multiplicidade algébrica 5 e em m(t) aparece com expoente 3. Logo o maior bloco de Jordan para lambda=3 tem tamanho 3, e a soma dos tamanhos deve ser 5. As únicas partições de 5 que têm parte máxima 3 e usam pelo menos um bloco de tamanho 3 são
  • 3+2, ou seja blocos de tamanhos 3 e 2.
  • 3+1+1, ou seja um bloco de tamanho 3 e dois blocos de tamanho 1.

Passo 4

Eigenvalor lambda=5: tem multiplicidade algébrica 5 e em m(t) aparece com expoente 2. Logo o maior bloco de Jordan para lambda=5 tem tamanho 2, e a soma dos tamanhos deve ser 5. As únicas partições de 5 cujas partes são <=2 e com pelo menos um 2 são
  • 2+2+1, ou seja dois blocos de tamanho 2 e um de tamanho 1.
  • 2+1+1+1, ou seja um bloco de tamanho 2 e três blocos de tamanho 1.

Passo 5

Agora combinamos as duas escolhas independentes (para lambda=3 e lambda=5). Obtemos 2times2=4 possíveis formas canônicas de Jordan.

Resposta

As quatro formas canônicas de Jordan são as seguintes (escrevemos Jk(lambda) o bloco de Jordan de tamanho k com valor próprio lambda):
Forma 1
J3(3);oplus;J2(3);oplus;J2(5);oplus;J2(5);oplus;J1(5)
Forma 2
J3(3);oplus;J2(3);oplus;J2(5);oplus;J1(5);oplus;J1(5);oplus;J1(5)
Forma 3
J3(3);oplus;J1(3);oplus;J1(3);oplus;J2(5);oplus;J2(5);oplus;J1(5)
Forma 4
J3(3);oplus;J1(3);oplus;J1(3);oplus;J2(5);oplus;J1(5);oplus;J1(5);oplus;J1(5)

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