A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio polinômio característico é
e cujo polinômio mínimo é
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos todas as formas canônicas de Jordan sobre
de uma matriz
cujo polinômio característico é
e cujo polinômio mínimo é
Conteúdo: teoria das formas canônicas de Jordan, em particular a relação entre expoentes em
e tamanhos dos blocos de Jordan.
Passo 2
Teorema chave: para cada valor próprio
, o expoente de
em
é igual ao tamanho do maior bloco de Jordan associado a
. Além disso, a soma dos tamanhos de todos os blocos para
deve ser a multiplicidade algébrica de
em
.
Passo 3
Eigenvalor
: tem multiplicidade algébrica
e em
aparece com expoente
. Logo o maior bloco de Jordan para
tem tamanho
, e a soma dos tamanhos deve ser
. As únicas partições de
que têm parte máxima
e usam pelo menos um bloco de tamanho
são
-
, ou seja blocos de tamanhos e . -
, ou seja um bloco de tamanho e dois blocos de tamanho .
Passo 4
Eigenvalor
: tem multiplicidade algébrica
e em
aparece com expoente
. Logo o maior bloco de Jordan para
tem tamanho
, e a soma dos tamanhos deve ser
. As únicas partições de
cujas partes são
e com pelo menos um
são
-
, ou seja dois blocos de tamanho e um de tamanho . -
, ou seja um bloco de tamanho e três blocos de tamanho .
Passo 5
Agora combinamos as duas escolhas independentes (para
e
). Obtemos
possíveis formas canônicas de Jordan.
Resposta
As quatro formas canônicas de Jordan são as seguintes (escrevemos
o bloco de Jordan de tamanho
com valor próprio
):
Forma 1
Forma 2
Forma 3
Forma 4