A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=(t+1)^2(t-3)^4(t+5)^4 e cujo polinômio mínimo é m(t)= (t+1)(t-3)^2(t+5)^2

Passo 1

O enunciado pede as formas canônicas de Jordan de uma matriz complexa cujo polinômio característico é
p(t)=(t+1)^2(t-3)^4(t+5)^4
e cujo polinômio mínimo é
m(t)=(t+1)(t-3)^2(t+5)^2
Para cada autovalor lambda, o expoente de (t-lambda) em p(t) é a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan para lambda e o expoente em m(t) é o tamanho do maior bloco de Jordan para lambda.

Passo 2

Para lambda=-1, o expoente em p(t) é 2 e em m(t) é 1. Logo o maior bloco tem tamanho 1 e a soma dos tamanhos é 2. A única partição possível é
1+1,
isto é, dois blocos J1(-1).

Passo 3

Para lambda=3, o expoente em p(t) é 4 e em m(t) é 2. Logo o maior bloco tem tamanho 2 e a soma dos tamanhos é 4. As partições de 4 com partes <=2 e contendo ao menos uma parte =2 são
2+2 e 2+1+1
Isto gera duas opções:
  • dois blocos J2(3);
  • um bloco J2(3) e dois blocos J1(3).

Passo 4

Para lambda=-5, o raciocínio é idêntico ao caso de 3: alg. mult. 4, maior bloco 2. As partições válidas são também
2+2 e 2+1+1,
isto é, ou dois blocos J2(-5), ou um bloco J2(-5) e dois blocos J1(-5).

Passo 5

Combinando as 2 possibilidades de lambda=3 com as 2 de lambda=-5 e lembrando que para lambda=-1 sempre temos J1(-1)oplus J1(-1), obtemos 2times2=4 formas canônicas.

Resposta

1) J = J1(-1)oplus J1(-1)oplus J2(3)oplus J2(3)oplus J2(-5)oplus J2(-5) 2) J = J1(-1)oplus J1(-1)oplus J2(3)oplus J2(3)oplus J2(-5)oplus J1(-5)oplus J1(-5) 3) J = J1(-1)oplus J1(-1)oplus J2(3)oplus J1(3)oplus J1(3)oplus J2(-5)oplus J2(-5) 4) J = J1(-1)oplus J1(-1)oplus J2(3)oplus J1(3)oplus J1(3)oplus J2(-5)oplus J1(-5)oplus J1(-5)

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