Demonstre que
[A, B C]=[A, B] C+B[A, C]

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar a propriedade de “derivação” do comutador de operadores, ou seja, provar que
[A,,B,C] = [A,,B],C + B,[A,,C]
Para isso vamos usar unicamente a definição de comutador:
;[X,Y]=X,Y-Y,X

Passo 2

Começamos escrevendo diretamente a definição para o lado esquerdo:
[A,,B,C] = A,B,C - B,C,A

Passo 3

Agora inserimos e subtraímos o mesmo termo B,A,C, para poder agrupar convenientemente:
A,B,C - B,C,A = l(A,B,C - B,A,Cr) + l(B,A,C - B,C,Ar)

Passo 4

Em cada parêntese fatoramos o que for comum à direita ou à esquerda:
A,B,C - B,A,C = (A,B-B,A),C e B,A,C - B,C,A = B,(A,C-C,A)

Passo 5

Reconhecendo as definições de comutador em cada fator:
A,B-B,A = [A,B], A,C-C,A = [A,C],
vemos que
[A,,B,C] = [A,,B],C + B,[A,,C],
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

[A,,B,C] = [A,,B],C + B,[A,,C]

Exercícios relacionados