O campo de indução magnética entre os pólos de um eletroímã é considerado constante com valor B0. Uma fina chapa paramagnética, que se restringe ao movimento paralelo às faces do eletroímã, é colocada no campo entre os pólos do eletroímã. A susceptibilidade da chapa é chim e a área de sua seção transversal é A.
a) Calcule a força sobre a chapa.
b) Obtenha um valor numérico para a força se o material da chapa for o titânio, A=1 cm^2 e B0=0,25 T.

Passo 1

O enunciado trata de uma fina chapa paramagnética de susceptibilidade chim e área de seção transversal A inserida num campo magnético uniforme de intensidade B0 entre os pólos de um eletroímã. O conteúdo envolve energia magnética e força de atração resultante de um gradiente de energia quando parte da chapa está fora do campo. Para resolver usamos a densidade de energia magnética, a definição de energia de um material magnético e a relação força–energia F=-dfracdWdx.

Passo 2

Quando a chapa ocupa um trecho de comprimento x dentro do campo, o volume magnetizado é V=Ax. A energia magnética armazenada no interior de um material linear isotrópico de permeabilidade mu=mu0(1+chim) é dada por
W = 12integralV H,B,dV
Como no vácuo B=mu0H, mas na chapa B=mu H, a diferença de energia entre ter a chapa dentro e ter vácuo é
De<a W = 12integralV l(BH - mu0H^2r),dV = 12integralV l(mu - mu0r)H^2,dV

Passo 3

Escrevendo mu-mu0=mu0chim e usando H=B0/mu0, a energia adicional é
De<a W = 12,mu0chim,integralV B0^2mu0^2,dV = 12,chimmu0,B0^2,V = 12,chimmu0,B0^2,A,x

Passo 4

A força sobre a chapa é dada por
F = -ddxl(-De<a Wr) = ddxl(12,chimmu0,B0^2,A,xr) = 12,chimmu0,B0^2,A
O sinal positivo indica que a chapa é atraída para dentro do campo.

Passo 5

Para obter valor numérico, usamos para o titânio a susceptibilidade típica chim=1,8times10^-4, a área A=1 cm^2=1,0times10^-4,m^2, B0=0,25,T e mu0=4pitimes10^-7,H/m. Assim,
F = 12,1,8times10^-44pitimes10^-7(0,25)^2(1,0times10^-4) approx 4,5times10^-4,N

Resposta

a) F = 12,chimmu0,B0^2,A
b) Fapprox4,5times10^-4,N

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