Demonstre que a autoindutância de um toróide é:
L=mu0 N^2 Al
Onde N é o número de espiras, A sua área transversal, e I seu comprimento circular. Calcule a energia magnética armazenada quando N=100, I=30 cm, A=12 cm^2 e a corrente é de 2 A.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) demonstrar que a autoindutância de um toróide com N espiras, área de secção transversal A e comprimento médio do caminho magnético l é
L=mu0N^2Al!,
e (ii) calcular a energia magnética armazenada quando N=100, l=30 cm, A=12 cm^2 e a corrente é I=2 A.
Para isso vamos usar:
– definição de indutância L=NPhi/I, onde Phi é fluxo por espira;
– Lei de Ampère para obter o campo magnético B no interior do toróide;
Phi=integral B,dA;
– energia magnética U=tfrac12,L,I^2.

Passo 2

Definição de indutância: se cada espira “vê” um fluxo magnético Phi, então
L=N,PhiI!

Passo 3

Calcular B no interior do toróide via Lei de Ampère numa curva circular de raio r:
oint B,dl = mu0,Irm enc Longrightarrow B,(2pi r)=mu0,(N,I) Longrightarrow B=mu0N,I2pi r

Passo 4

Fluxo por espira Phi. Como a área de secção A é pequena em relação ao raio médio, aproximamos B constante em toda A, logo
Phi=integral B,dA approx B,A =mu0N,I2pi r,A

Passo 5

Identificando o comprimento médio do caminho magnético l=2pi r, substituímos em Phi:
Phi=mu0N,Il,A

Passo 6

Volta à definição L=NPhi/I:
L =NI,l(mu0N,Il,Ar) =mu0,N^2,Al

Passo 7

Agora os valores numéricos. Primeiro convertemos para o SI:
l=30 cm=0,30 m,
A=12 cm^2=12times10^-4 m^2=1,2times10^-3 m^2.
Então
L =4pitimes10^-7,H/m;times100^2;times1,2times10^-3 m^2 0,30 m =16pitimes10^-6 H approx5,03times10^-5 H

Passo 8

Energia magnética armazenada:
U=12,L,I^2 =12,(5,03times10^-5, H),(2, A)^2 =1,01times10^-4 J approx1,0times10^-4 J

Resposta

L=mu0N^2Al, Lapprox5,03times10^-5 H, Uapprox1,0times10^-4 J

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