Na convenção de somatório de Einstein (CSE), podemos reconhecer um produto matricial quando um índicic mudo (repctido) consta cm posições adjacentes. Assim, A B equiv ai j bj k. Também podemos trocar a ordem dos índices reconhecendo que o resultado será a matriz transposta: se A=[ai j] então A^r m T=[aj i].
Reordenando os fatores e índices, onde for necessário, escreva o produto matricial equivalent aos somatórios:
di l=ck l ai j bj k, ci k=aj i bj k, ck i=aj i bj k, di j=bk l ai k cj l.

Passo 1

O enunciado usa a convenção de Einstein, onde um índice repetido indica somatório e a contração adjacente de índices dá produto matricial:
(AB)ik=aijbjk.
Além disso, trocar os índices de aij gera a transposta: aji=(A^T)ij.
Vamos reescrever cada expressão no formato (cdot)pq de algum produto de matrizes.

Passo 2

Para
dil=ckl,aij,bjk
reordenamos fatores e índices (somente o somatório importa), ficando
dil=aij,bjk,ckl;=;(AB)ik,ckl;=;l((AB),Cr)il
Logo, em notação matricial,
d= (AB),C,
isto é, d=ABC.

Passo 3

Para
cik=aji,bjk
note que aji=(A^T)ij. Assim,
cik=(A^T)ij,bjk=(A^T B)ik
Logo,
c=A^T B

Passo 4

Para
cki=aji,bjk
repare que é exatamente a transposta do caso anterior, pois cki=(c^T)ik. Mas podemos também enxergar diretamente:
cki=bjk,aji=(B^T)kj,(A)ji=(B^T A)ki
Logo,
c=B^T A

Passo 5

Para
dij=bkl,aik,cjl
organizamos como
dij=aik,bkl,l(cjlr) =l(ABr)il,(C^T)lj =l(AB,C^Tr)ij
Portanto,
d=AB,C^T

Resposta

(i) d=ABC
(ii) c=A^T B
(iii) c=B^T A
(iv) d=AB,C^T

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