Demonstre, algebricamente, que:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar, usando álgebra, que a probabilidade da união de dois eventos $ A $ e $ B $ é igual à soma das probabilidades de $ A $ e $ B $ menos a probabilidade da interseção deles. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de probabilidade, como a definição de união e interseção de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ P(A \cup B) $. Essa expressão representa a probabilidade de que pelo menos um dos eventos $ A $ ou $ B $ aconteça. Isso inclui três situações:
- Só $ A $ acontece.
- Só $ B $ acontece.
- Ambos $ A $ e $ B $ acontecem juntos.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como calcular essa probabilidade. Se somarmos $ P(A) $ e $ P(B) $, estamos contando todas as situações onde $ A $ acontece e todas onde $ B $ acontece. Porém, a situação onde ambos acontecem ($ P(A \cap B) $) está sendo contada duas vezes nessa soma. Para corrigir isso, precisamos subtrair uma vez a probabilidade da interseção.
Passo 4
Então, ficando assim:
Dessa forma, garantimos que cada cenário é contado apenas uma vez, chegando à fórmula que queríamos demonstrar.