Demonstre, algebricamente, que: P(A cup B)=P(A)+P(B)-P(A cap B).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar, usando álgebra, que a probabilidade da união de dois eventos $ A $ e $ B $ é igual à soma das probabilidades de $ A $ e $ B $ menos a probabilidade da interseção deles. Ou seja, queremos provar que:
A
Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de probabilidade, como a definição de união e interseção de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ P(A \cup B) $. Essa expressão representa a probabilidade de que pelo menos um dos eventos $ A $ ou $ B $ aconteça. Isso inclui três situações:
  1. Só $ A $ acontece.
  2. Só $ B $ acontece.
  3. Ambos $ A $ e $ B $ acontecem juntos.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como calcular essa probabilidade. Se somarmos $ P(A) $ e $ P(B) $, estamos contando todas as situações onde $ A $ acontece e todas onde $ B $ acontece. Porém, a situação onde ambos acontecem ($ P(A \cap B) $) está sendo contada duas vezes nessa soma. Para corrigir isso, precisamos subtrair uma vez a probabilidade da interseção.

Passo 4

Então, ficando assim:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Dessa forma, garantimos que cada cenário é contado apenas uma vez, chegando à fórmula que queríamos demonstrar.

Resposta

P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)

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