Se
e
, calcule
. (Resp:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem duas probabilidades:
- $ P(A \cup B) = 0,7 $ — que significa a probabilidade de acontecer A ou B.
- $ P(A \cup B^{C}) = 0,9 $ — que é a probabilidade de acontecer A ou o complemento de B (ou seja, B não acontece).
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é $ P(A) $, a probabilidade de A acontecer. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades de probabilidades envolvendo união de eventos e complementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a união de dois eventos, $ A \cup B $, representa todas as situações em que pelo menos um dos eventos A ou B ocorre. Da mesma forma, $ A \cup B^{C} $ representa todas as situações em que A ocorre ou B não ocorre.
Vamos usar uma propriedade importante das probabilidades que diz:
E também sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar esses conceitos nas equações que a gente tem.
Primeiro, para $ P(A \cup B) = 0,7 $:
E para $ P(A \cup B^{C}) = 0,9 $:
Mas $ P(B^{C}) = 1 - P(B) $, então:
Passo 4
Vamos tentar relacionar essas duas equações para isolar $ P(A) $.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Sabemos que:
Substituindo $ P(A \cap B) $ na segunda equação:
Simplificando:
Substituindo $ P(A \cap B) $ da primeira equação:
Os termos $ P(B) $ se cancelam:
Assim: