Se P(A cup B)=0,7 e P(A), calcule . (Resp:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem duas probabilidades:
  1. $ P(A \cup B) = 0,7 $ — que significa a probabilidade de acontecer A ou B.
  2. $ P(A \cup B^{C}) = 0,9 $ — que é a probabilidade de acontecer A ou o complemento de B (ou seja, B não acontece).
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é $ P(A) $, a probabilidade de A acontecer. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades de probabilidades envolvendo união de eventos e complementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a união de dois eventos, $ A \cup B $, representa todas as situações em que pelo menos um dos eventos A ou B ocorre. Da mesma forma, $ A \cup B^{C} $ representa todas as situações em que A ocorre ou B não ocorre.
Vamos usar uma propriedade importante das probabilidades que diz:
A cup B
E também sabemos que:
A cup B^C

Passo 3

Agora, vamos aplicar esses conceitos nas equações que a gente tem.
Primeiro, para $ P(A \cup B) = 0,7 $:
P(A cup B) = 0,7
E para $ P(A \cup B^{C}) = 0,9 $:
0,7 = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Mas $ P(B^{C}) = 1 - P(B) $, então:
P(A cup B^C) = 0,9
0,9 = P(A) + P(B^C) - P(A cap B^C)

Passo 4

Vamos tentar relacionar essas duas equações para isolar $ P(A) $.
Da primeira equação:
P(A)
Da segunda equação:
P(A cap B) = P(A) + P(B) - 0,7
Sabemos que:
0,9 = P(A) + 1 - P(B) - P(A cap B^C)
Substituindo $ P(A \cap B) $ na segunda equação:
P(A) = P(A cap B) + P(A cap B^C)
Simplificando:
P(A cap B)
Substituindo $ P(A \cap B) $ da primeira equação:
0,9 = (P(A cap B) + P(A cap B^C)) + 1 - P(B) - P(A cap B^C)
0,9 = P(A cap B) + 1 - P(B)
Os termos $ P(B) $ se cancelam:
P(A cap B)
Assim:
0,9 = (P(A) + P(B) - 0,7) + 1 - P(B)
0,9 = P(A) + P(B) - 0,7 + 1 - P(B)

Resposta

P(A) = 0,6

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