Considere o espaço amostral (Omega, F, P) com Omega=N, F=P(Omega)( partes de Omega) e P(n)=1n(n+1), para todo n. Para cada n, considere o evento An=n, n+1, n+2, ldots. Mostre que:
P(An infinitas vezes )=0.

Passo 1

Beleza, a questão diz que nosso espaço amostral é ℕ, com probabilidade de cada ponto dada por
P(n) = 1n(n+1)
E definimos o evento
An = n,n+1,n+2,dots
O que pedem é mostrar que “ acontece infinitas vezes” (ou seja, ) tem probabilidade zero.
Conteúdo principal: definição de de eventos, soma telescópica e continuidade da probabilidade em sequências decrescentes de eventos.

Passo 2

Primeiro vamos entender a probabilidade de cada P(An) ;=; sumk=n^infty P(k) ;=; sumk=n^infty 1k(k+1). Por definição,
1k(k+1) = 1k - 1k+1
Aqui aparece a famosa soma telescópica. Repare que
sumk=n^Nl(tfrac1k - tfrac1k+1r) = l(tfrac1n - tfrac1n+1r) + l(tfrac1n+1-tfrac1n+2r) + cdots = 1n - 1N+1
Então, ao somar de P(An) = limNtoinftyl(1n - 1N+1r) = 1n até infinito, tudo “cancela” menos as duas pontas:
E fazendo , sobra simplesmente

Passo 3

Agora precisamos do evento “ limsupntoinfty An = capN=1^infty cupn=N^infty An acontece infinitas vezes”. Em teoria de probabilidade isso é
A1 supset A2 supset A3 supset cdots
Mas note que os cupn=N^infty An = AN formam uma sequência decrescente:
limsupntoinfty An = capN=1^infty AN
Para sequências decrescentes vale que
Pl(capN=1^infty ANr) = limNtoinfty P(AN)
Logo
Isto é uma sequência decrescente de eventos, então a propriedade de continuidade de probabilidades diz:

Passo 4

Sabemos do Passo 2 que Pl(limsup Anr) = limNtoinfty 1N = 0 . Portanto
Isso mostra exatamente que a probabilidade de ocorrer infinitas vezes é zero.

Resposta

Pl(An infinitas vezesr) ;=; 0

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