Considere o espaço amostral
partes de
e
, para todo
. Para cada
, considere o evento
. Mostre que:
infinitas vezes
.
Passo 1
Beleza, a questão diz que nosso espaço amostral é ℕ, com probabilidade de cada ponto dada por
E definimos o evento
O que pedem é mostrar que “
acontece infinitas vezes” (ou seja,
) tem probabilidade zero.
Conteúdo principal: definição de de eventos, soma telescópica e continuidade da probabilidade em sequências decrescentes de eventos.
Conteúdo principal: definição de
Passo 2
Primeiro vamos entender a probabilidade de cada
. Por definição,
Aqui aparece a famosa soma telescópica. Repare que
Então, ao somar de
até infinito, tudo “cancela” menos as duas pontas:
E fazendo
, sobra simplesmente
Passo 3
Agora precisamos do evento “
acontece infinitas vezes”. Em teoria de probabilidade isso é
Mas note que os
formam uma sequência decrescente:
Para sequências decrescentes vale que
Logo
Isto é uma sequência decrescente de eventos, então a propriedade de continuidade de probabilidades diz:
Passo 4
Sabemos do Passo 2 que
. Portanto
Isso mostra exatamente que a probabilidade de
ocorrer infinitas vezes é zero.