Demonstre algebricamente que um triângulo isósceles, que tem dois de seus lados congruentes entre si (P Q equiv P R), tem os ângulos da base (Q R) congruentes entre si. (Sugestão: use as relações entre os vetores associados aos segmentos que definem o triângulo.)

Passo 1

O enunciado diz que no triângulo PQR temos PQequivPR, isto é,
|,PQ,| ;=; |,PR,|
Queremos mostrar que os ângulos da base, ang<= PQR e ang<= PRQ, são congruentes.
Conteúdo principal: usar vetores e produto escalar para obter as cossenos dos ângulos e compará-los.

Passo 2

Defina os vetores
a = PQ = Q - P, b = PR = R - P
A hipótese PQequivPR torna-se
|a| = |b|
Observe também que
QR = R - Q = (R-P) - (Q-P) = b - a,
RQ = Q - R = a - b

Passo 3

Calcule cosl(ang<= PQRr). Os lados do ângulo em Q são QP = -a e QR = b-a.
Pelo produto escalar,
cosl(ang<= PQRr) =QP,cdot,QR |QP|;|QR| =(-a)cdot(b-a) |a|;|b-a| =-acdotb + acdota |a|;|b-a|
Como acdota=|a|^2, segue
cosl(ang<= PQRr) =|a|^2 - acdotb |a|;|b-a|

Passo 4

Calcule cosl(ang<= PRQr). Os lados em R são RP=-b e RQ=a-b.
Assim,
cosl(ang<= PRQr) =(-b)cdot(a-b) |b|;|a-b| =-bcdota + bcdotb |b|;|a-b| =|b|^2 - acdotb |b|;|a-b|

Passo 5

Como |a|=|b|, dos resultados dos Passos 3 e 4 obtemos
cosl(ang<= PQRr) =|a|^2 - acdotb |a|;|b-a| =|b|^2 - acdotb |b|;|a-b| =cosl(ang<= PRQr)
Como ambos os ângulos estão em [0,pi], a igualdade de cossenos implica
ang<= PQR ;=;ang<= PRQ

Resposta

Os ângulos da base ang<= PQR e ang<= PRQ são congruentes.

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