Seja T: R^3 R^3 o operador do R^3 cuja matriz em relação à base beta canônica de R^3 é
[T]beta=[rrr 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1 ]
Note que a matriz desse operador é uma matriz simétrica em relação a uma base ortonormal de R^3, a base canônica (o que nos diz que esse operador é auto-adjunto). Faça o que se pede nos itens.
(iii) Exiba uma base ortonormal betao de R^3 formada por autovetores para este operador. Considere o produto interno usual de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base ortonormal betao de R^3 formada por autovetores de
[T]beta = 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1 ,
sabendo que este operador é auto-adjunto (matriz simétrica na base canônica) e usando o produto interno usual. Para isso precisamos: (i) achar os valores próprios lambda, (ii) determinar os autovetores em cada valor próprio, (iii) normalizar e, quando houver multiplicidade maior que 1, aplicar Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A=[T]beta:
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 4 & 2 4 & -5-lambda & -4 2 & -4 & 1-lambda =-lambda^3-3lambda^2+45lambda-81
Mudando sinal, obtemos
lambda^3+3lambda^2-45lambda+81=0,
cuja raiz inteira é lambda=3. Dividindo por lambda-3 sobra lambda^2+6lambda-27, cujas raízes são lambda=3 e lambda=-9. Logo
lambda1=3 (mu<iplicidade 2), lambda2=-9 (mu<iplicidade 1)

Passo 3

Para lambda2=-9 resolvemos (A+9I)v=0:
(A+9I)=10&4&24&4&-42&-4&10, v=(x,y,z)
leva ao sistema
5x+2y+z=0, x+y-z=0, x-2y+5z=0
Dessa forma y=-2x, z=-x, e um autovetor é v3=(1,-2,-1). Normalizando:
|v3|=raiz1+4+1=raiz6, u3=1raiz6(1,-2,-1)

Passo 4

Para lambda1=3 resolvemos (A-3I)v=0:
(A-3I)=-2&4&24&-8&-42&-4&-2
impõe -x+2y+z=0, de modo que
x=2y+z, v=y(2,1,0)+z(1,0,1)
Escolhemos v1=(2,1,0) e v2=(1,0,1). Agora aplicamos Gram–Schmidt:
  1. w1=v1=(2,1,0), |w1|=raiz5,
    u1=tfrac1raiz5(2,1,0)
  2. Projeção de v2 em u1:
proju1(v2)=llang<= v2,u1rrang<= u1 =2raiz5u1 =25(2,1,0)=(tfrac45,tfrac25,0)
Então w2=v2-proju1(v2) =(1,0,1)-(tfrac45,tfrac25,0) =(tfrac15,-tfrac25,1)sim(1,-2,5)
|w2|=raiz1+4+25=raiz30,
u2=tfrac1raiz30(1,-2,5)
Os vetores u1,u2,u3 são mutuamente ortonormais e são autovetores de A.

Resposta

Uma base ortonormal de autovetores é
betao=l u1=tfrac1raiz5(2,1,0),; u2=tfrac1raiz30(1,-2,5),; u3=tfrac1raiz6(1,-2,-1) r

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