Seja o operador do cuja matriz em relação à base canônica de é
Note que a matriz desse operador é uma matriz simétrica em relação a uma base ortonormal de R^3, a base canônica (o que nos diz que esse operador é auto-adjunto). Faça o que se pede nos itens.
(iii) Exiba uma base ortonormal betao de R^3 formada por autovetores para este operador. Considere o produto interno usual de R^3.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base ortonormal betao de R^3 formada por autovetores de
[T]beta = 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1 ,
sabendo que este operador é auto-adjunto (matriz simétrica na base canônica) e usando o produto interno usual. Para isso precisamos: (i) achar os valores próprios lambda, (ii) determinar os autovetores em cada valor próprio, (iii) normalizar e, quando houver multiplicidade maior que 1, aplicar Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais.
Passo 2
Calculemos o polinômio característico de A=[T]beta: