Seja T: R^3 R^3 o operador do R^3 cuja matriz em relação à base beta canônica de R^3 é
[T]beta=[rrr 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2 ]
(iv) Determine a matriz M=[I]beta^betao que diagonaliza o mesmo e verifique que [T]betao=M^-1[T]beta M.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T: R^3to R^3 cuja matriz na base canônica beta é
[T]beta = 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2
Queremos encontrar uma base betao de autovetores de T, definir a matriz de mudança de base
M = [I]beta^betao,
e verificar que
[T]betao = M^-1,[T]beta,M
é diagonal.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de [T]beta. Temos
detl([T]beta-lambda Ir) = det 2-lambda & 2 & 0 2 & -1-lambda & 0 0 & 0 & 2-lambda = (2-lambda),det 2-lambda & 2 2 & -1-lambda
E
det 2-lambda & 2 2 & -1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda)-4 =lambda^2-lambda-6 =(lambda-3)(lambda+2)
Logo
detl([T]beta-lambda Ir) =(2-lambda)(lambda-3)(lambda+2)
e os autovalores são
lambda1=3, lambda2=-2 e lambda3=2.

Passo 3

Para cada autovalor lambda resolvemos l([T]beta-lambda Ir)v=0.
  1. Se lambda=3,
2-3 & 2 & 0 2 & -1-3 & 0 0 & 0 & 2-3 = -1 & 2 & 0 2 & -4 & 0 0 & 0 & -1
impõe -x+2y=0 e z=0. Tomando y=1 obtém-se o autovetor
v1=(2,1,0)^T
  1. Se lambda=-2,
2+2 & 2 & 0 2 & -1+2 & 0 0 & 0 & 2+2 = 4 & 2 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 4
impõe 4x+2y=0 e z=0. Tomando x=1 y=-2, logo
v2=(1,-2,0)^T
  1. Se lambda=2, a equação [T]betav=2v força x=y=0 e z livre. Tomamos
v3=(0,0,1)^T

Passo 4

Definimos a base de autovetores
betao=v1,v2,v3 e a matriz de mudança de base da canônica para betao como tendo colunas v1,v2,v3 em coordenadas canônicas:
M = 2 & 1 & 0 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Como cada coluna vi satisfaz [T]betavi=lambdaivi, escrevemos
[T]betaM = M 3 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 2
Multiplicando à esquerda por M^-1 obtém-se
M^-1,[T]beta,M = 3 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 2 ,
que é precisamente a matriz diagonal dos autovalores. Para referência,
M^-1 = 2/5 & 1/5 & 0 1/5 & -2/5 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A matriz que diagonaliza [T]beta é
M = 2 & 1 & 0 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 ,
e de fato
[T]betao = M^-1,[T]beta,M = 3 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 2

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