Demonstre que, se a altura de um cilindro reto é a metade do raio da base, a área lateral é igual à área da base.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro reto e afirma que a altura é a metade do raio da base. Precisamos demonstrar que, sob essa condição, a área lateral do cilindro é igual à área da base.
Informações fornecidas que vamos usar:
Informações fornecidas que vamos usar:
- Seja
o raio da base do cilindro. - Seja
a altura do cilindro e temos .
Pergunta a responder: provar que a área lateral é igual à área da base.
Passo 2
Definimos as áreas que aparecem no problema e explicamos por que essas fórmulas são verdadeiras. Primeiro, a área da base (uma circunferência de raio
). A fórmula conhecida é
Explicação didática rápida: a constante
é a razão entre a circunferência e o diâmetro; se você dividir o disco em muitas fatias (setores) e rearranjá-las alternativamente, elas aproximam um retângulo de base
(metade das circunferências somadas) e altura
. A área do retângulo é base vezes altura, ou seja
, que é a área do círculo.
Passo 3
Agora a área lateral do cilindro. Se você “desenrolar” a superfície lateral de um cilindro reto, obtém um retângulo cuja altura é a altura
do cilindro e cuja largura é a circunferência da base. A circunferência de raio
vale
. Portanto a área lateral é
Aqui
vem da fórmula da circunferência e
é a altura; multiplicando obtemos a área do retângulo equivalente à superfície lateral.
Passo 4
Substituímos a relação dada
na expressão da área lateral e fazemos as contas passo a passo:
Agora simplificamos multiplicando e cancelando o
:
Passo 5
Comparando com a fórmula da área da base obtida no Passo 2, vemos que a área lateral calculada é exatamente a mesma: