Demonstre que, se a altura de um cilindro reto é a metade do raio da base, a área lateral é igual à área da base.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro reto e afirma que a altura é a metade do raio da base. Precisamos demonstrar que, sob essa condição, a área lateral do cilindro é igual à área da base.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • Seja r>0 o raio da base do cilindro.
  • Seja h a altura do cilindro e temos \displaystyle h=\frac{r}{2}.
    Pergunta a responder: provar que a área lateral é igual à área da base.

Passo 2

Definimos as áreas que aparecem no problema e explicamos por que essas fórmulas são verdadeiras. Primeiro, a área da base (uma circunferência de raio r). A fórmula conhecida é
A_{B}=\pi r^{2}.
Explicação didática rápida: a constante \pi é a razão entre a circunferência e o diâmetro; se você dividir o disco em muitas fatias (setores) e rearranjá-las alternativamente, elas aproximam um retângulo de base \pi r (metade das circunferências somadas) e altura r. A área do retângulo é base vezes altura, ou seja \pi r\cdot r=\pi r^{2}, que é a área do círculo.

Passo 3

Agora a área lateral do cilindro. Se você “desenrolar” a superfície lateral de um cilindro reto, obtém um retângulo cuja altura é a altura h do cilindro e cuja largura é a circunferência da base. A circunferência de raio r vale 2\pi r. Portanto a área lateral é
A_{L}=(\text{circunferência da base})\times(\text{altura})=2\pi r\cdot h.ê
Aqui 2\pi r vem da fórmula da circunferência e h é a altura; multiplicando obtemos a área do retângulo equivalente à superfície lateral.

Passo 4

Substituímos a relação dada \displaystyle h=\frac{r}{2} na expressão da área lateral e fazemos as contas passo a passo:
A_{L}=2\pi r\cdot h=2\pi r\cdot\frac{r}{2}.
Agora simplificamos multiplicando e cancelando o 2:
A_{L}=2\pi r\cdot\frac{r}{2}=\pi r\cdot r=\pi r^{2}.

Passo 5

Comparando com a fórmula da área da base obtida no Passo 2, vemos que a área lateral calculada é exatamente a mesma:
A_{L}=\pi r^{2}=A_{B}.

Resposta

A_{L}=A_{B}

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