Demonstre que a análise dimensional dos seguintes itens são adimensionais.
Número de Archimedes (Ar)

Passo 1

Queremos mostrar que o número de Archimedes \mathrm{Ar} é adimensional. O conteúdo aqui é análise dimensional em mecânica de fluidos: basta escrever a definição de \mathrm{Ar}, listar as variáveis que aparecem e suas dimensões, e verificar que na combinação proposta todas as unidades se cancelam.

Passo 2

Use como definição comum
\mathrm{Ar}=\frac{g\,\Delta\rho\,L^3}{\rho\,\nu^2},
onde
g é a aceleração da gravidade, com dimensão \bigl[g\bigr]=L\,T^{-2},
\Delta\rho=\rho_s-\rho é a diferença de densidades (sólido menos fluido), dimensão \bigl[\Delta\rho\bigr]=M\,L^{-3},
L é um comprimento característico, dimensão \bigl[L\bigr]=L,
\rho é a densidade do fluido, dimensão \bigl[\rho\bigr]=M\,L^{-3},
\nu é a viscosidade cinemática do fluido, dimensão \bigl[\nu\bigr]=L^2\,T^{-1}.

Passo 3

Agora calculemos a dimensão do numerador e do denominador separadamente:
Numerador:
\bigl[g\,\Delta\rho\,L^3\bigr] =\bigl[g\bigr]\;\bigl[\Delta\rho\bigr]\;\bigl[L^3\bigr] =(L\,T^{-2})\;(M\,L^{-3})\;(L^3) =M\,L\,T^{-2}.
Denominador:
\bigl[\rho\,\nu^2\bigr] =\bigl[\rho\bigr]\;\bigl[\nu\bigr]^2 =(M\,L^{-3})\;(L^2\,T^{-1})^2 =(M\,L^{-3})\;(L^4\,T^{-2}) =M\,L\,T^{-2}.
Como numerador e denominador têm exatamente a mesma dimensão M\,L\,T^{-2}, a razão é sem dimensão.

Resposta

Portanto, o número de Archimedes \mathrm{Ar} é adimensional.

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