Demonstre que a análise dimensional dos seguintes itens são adimensionais.
Número de Fourier (Fo)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número de Fourier, denotado por \mathrm{Fo}, é adimensional. O conteúdo envolvido é análise dimensional, e vamos precisar das dimensões das grandezas que aparecem na definição de \mathrm{Fo}.

Passo 2

A definição do número de Fourier é
\mathrm{Fo} \;=\;\frac{\alpha\,t}{L^{2}}
onde
\alpha é a difusividade térmica,
t é o tempo,
L é uma dimensão característica (por exemplo, espessura de uma placa).

Passo 3

Para obter a dimensão de \alpha, lembramos que
\alpha \;=\;\frac{k}{\rho\,c_{p}}
com
k condutividade térmica, cuja dimensão é
[k]=\frac{[P]}{[L]\,[\Theta]} =\frac{M\,L^{2}\,T^{-3}}{L\,\Theta} =M\,L\,T^{-3}\,\Theta^{-1},
\rho densidade, com [\rho]=M\,L^{-3},
c_{p} calor específico, com [c_{p}]=L^{2}\,T^{-2}\,\Theta^{-1}.
Logo,
[\alpha] =\frac{M\,L\,T^{-3}\,\Theta^{-1}}{(M\,L^{-3})(L^{2}\,T^{-2}\,\Theta^{-1})} =\frac{M\,L\,T^{-3}\,\Theta^{-1}}{M\,L^{-1}\,T^{-2}\,\Theta^{-1}} =L^{2}\,T^{-1}.

Passo 4

Agora, analisamos \mathrm{Fo}:
[\mathrm{Fo}] =\frac{[\alpha]\,[t]}{[L]^{2}} =\frac{(L^{2}\,T^{-1})\,(T)}{L^{2}} =1.
Ou seja, todas as dimensões se cancelam, restando uma quantidade puramente adimensional.

Resposta

O número de Fourier \mathrm{Fo} é adimensional.

Exercícios relacionados