Problema 19. Duas cascas metálicas concêntricas com cargas qA e qB e raios RA e RB (RA<RB), respectivamente. Mostre que o potencial elétrico é dado por:
V(r)=ll 14 pi epsilon0(2 qA+qBRB-qARA), & r <= RA 14 pi epsilon0(q A+qBRB)-14 pi epsilon0 q1(1r-1RB), & RA <= r <= RB 14 pi epsilon0(q A+qBr), & RB <= r

Passo 1

O enunciado trata de duas cascas condutoras esféricas concêntricas, de raios RA<RB, com cargas totais respectivamente qA (na casca interna) e qB (na casca externa). Queremos achar o potencial elétrico V(r) em função da distância r ao centro, usando eletrostática de condutores e Lei de Gauss. Vamos precisar
  • determinar como as cargas se distribuem (induzidas e livres),
  • usar Gauss para achar o campo E(r) em cada região,
  • e depois calcular o potencial por integração de E.

Passo 2

Distribuição de cargas sobre as superfícies:
– Casca interna (raio RA): toda a carga qA fica na sua superfície externa.
– Casca externa (raio RB): devido à presença de qA dentro, na face interna da casca externa surge carga induzida -qA, e na face externa sobra qB+qA (para que o total seja qB).

Passo 3

Aplicamos Lei de Gauss para encontrar o módulo do campo radial E(r):
– Para r<RA: nenhuma carga está dentro do gaussiano, logo
E(r)=0,
– Para RA<r<RB: o único carga envolvida é qA, então
E(r)=14piepsilon0;qAr^2,
– Para r>RB: envolvemos as cargas qA e qB, total qA+qB, logo
E(r)=14piepsilon0;qA+qBr^2,

Passo 4

Escolhemos V(infty)=0 e escrevemos
V(r)=integralr^inftyE(r'),dr',
– Para r>RB:
V(r)=integralr^infty14piepsilon0qA+qBr'^2dr' =14piepsilon0qA+qBr,
– Para RA<r<RB:
V(r) =integralr^RB14piepsilon0qAr'^2dr' ;+;integralRB^infty14piepsilon0qA+qBr'^2dr'
=14piepsilon0l[l(1r-1RBr)qA +qA+qBRBr] =14piepsilon0l(qA+qBRB-qAl(1r-1RBr)r)
– Para r<RA: dentro da casca interna V é constante e igual ao valor em r=RA. Logo
V(r)=V(RA) =14piepsilon0l(qA+qBRB-qAl(1RA-1RBr)r) =14piepsilon0l(2,qA+qBRB-qARAr)

Resposta

V(r)= 14piepsilon0l(2,qA+qBRB-qARAr), & r<= RA,[1em] 14piepsilon0l(qA+qBRB -qAl(1r-1RBr)r), & RA<= r<= RB,[1em] 14piepsilon0;qA+qBr, & r>= RB ]

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