Problema 19. Duas cascas metálicas concêntricas com cargas e e raios e , respectivamente. Mostre que o potencial elétrico é dado por:
Passo 1
O enunciado trata de duas cascas condutoras esféricas concêntricas, de raios RA<RB, com cargas totais respectivamente qA (na casca interna) e qB (na casca externa). Queremos achar o potencial elétrico V(r) em função da distância r ao centro, usando eletrostática de condutores e Lei de Gauss. Vamos precisar
determinar como as cargas se distribuem (induzidas e livres),
usar Gauss para achar o campo E(r) em cada região,
e depois calcular o potencial por integração de E.
Passo 2
Distribuição de cargas sobre as superfícies:
– Casca interna (raio RA): toda a carga qA fica na sua superfície externa.
– Casca externa (raio RB): devido à presença de qA dentro, na face interna da casca externa surge carga induzida -qA, e na face externa sobra qB+qA (para que o total seja qB).
Passo 3
Aplicamos Lei de Gauss para encontrar o módulo do campo radial E(r):
– Para r<RA: nenhuma carga está dentro do gaussiano, logo
E(r)=0,
– Para RA<r<RB: o único carga envolvida é qA, então
E(r)=14piepsilon0;qAr^2,
– Para r>RB: envolvemos as cargas qA e qB, total qA+qB, logo